圆的方程 课前必备知识 课标要求 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一般方程.2.能根据给定条件求圆标准方程及与圆有关的轨迹方程． 知识梳理 1．圆的定义 在平面内，到__定点__的距离等于__定长__的点的集合叫做圆． 确定一个圆最基本的要素是__圆心__和半径． 2．圆的方程 (1)圆的标准方程：__(x－a)2＋(y－b)2＝r2__，其中(a，b)为圆心，r为半径． 特别地，当a＝b＝0时，表示圆心在原点的圆的方程：x2＋y2＝r2. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为__(－，－)__，半径r＝____． 3．求圆的方程的方法和步骤 由于圆的方程形式已知，所以求圆的方程常采用__待定系数法__，大致步骤为： (1)根据题意，选择__标准或一般__方程； (2)根据条件列出关于__a，b，r或D，E，F__的方程组； (3)解出__a，b，r或D，E，F__代入标准方程或一般方程． 常用结论 1．点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)， (1)点在圆上 __(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2__； (2)点在圆外 __(x0－a)2＋(y0－b)2>r2__； (3)点在圆内 __(x0－a)2＋(y0－b)20，解得a>9或a<1， 故“a<1”是“方程2x2＋2y2＋2ax＋6y＋5a＝0表示圆”的充分不必要条件．故选A. 2．(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝( ) A． B．－ C．1 D．－1 解析：A 由题可知圆心为(a，0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝.故选A. 3．(教材母题选必修习题2.4T8)已知长为2a(a>0)的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为_____. 解析：x2＋y2＝a2 如图，不论直线怎么移动，线段AB的中点P与原点O的连线始终为Rt△OAB斜边上的中线，即|OP|＝a，即x2＋y2＝a2.故所求的轨迹方程为x2＋y2＝a2. 4．已知圆的圆心为(－2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是_____． 解析：x2＋y2＋4x－2y＝0 设直径的两个端点分别A(a，0)，B(0，b)，圆心C为点(－2，1)，由中点坐标公式，得＝－2，＝1，解得a＝－4，b＝2.所以半径r＝＝， 所以圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0. 5．设点P是函数y＝－的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为_____． 解析：－2 如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1，0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为点A，则|CA|＝，故|PQ|min＝|CA|－2＝－2. 课堂核心考点 考点1 圆的方程及求法 【例1】 (1)过两点A(0，4)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上的圆的标准方程是( ) A．(x＋4)2＋(y＋1)2＝25 B．(x＋4)2＋(y－1)2＝25 C．(x－4)2＋(y＋1)2＝25 D．(x－4)2＋(y－1)2＝25 (2)若圆C与y轴相切，与直线l：y＝x也相切，且圆C经过点P(2，)，则圆C的半径为_____. (3)(2025·湖北高三校联考期末)广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形区域x2＋y2≤4.其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数sgn (x)＝则当x2＋y2≤4时，下列不等式能 ... ...
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