圆锥曲线的证明和探究性问题 讲义（含答案）-2026届高三一轮复习

圆锥曲线的证明和探究性问题 课前必备知识 课标要求 　1.进一步掌握圆锥曲线的基础知识，会综合处理直线、圆与圆锥曲线有关综合问题.2.提高综合运用知识的能力． 知识梳理 1．圆锥曲线的证明问题中常见的题设情境 (1)位置关系情境：如证明直线与曲线相切，直线与直线平行、垂直，直线过定点等． (2)数量关系情境：如存在定值、恒成立、相等等． 2．圆锥曲线的探索性问题 探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化． 一般步骤为：(1)假设满足条件的曲线(或直线、点等)存在，用待定系数法设出；(2)列出关于待定系数的方程(组)；(3)若方程(组)有实数解，则曲线(或直线、点等)存在，否则不存在． 3．圆锥曲线的综合问题 圆锥曲线的综合问题主要表现在如下两个方面：一是纵向综合，涉及直线与圆锥曲线、圆与圆锥曲线的相互综合，涉及弦长、中点、垂直、对称、轨迹等问题；二是横向综合，重点是函数、方程、不等式、向量、三角等知识的联系． 4．圆锥曲线的部分经典结论 (1)点M(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，过点M作椭圆的切线，则切线方程为＋＝1. (2)点M(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过点M作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为＋＝1. (3)点M(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)内，过点M作椭圆的弦AB(不过椭圆中心)，分别过A，B作椭圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线＋＝1. (4)点M(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)上，过点M作双曲线的切线，则切线方程为－＝1. (5)点M(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过点M作双曲线的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为－＝1. (6)点M(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)内，过点M作双曲线的弦AB(不过双曲线中心)，分别过A，B作双曲线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线－＝1. (7)点M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，过点M作抛物线的切线，则切线方程为y0y＝p(x＋x0). (8)点M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)外，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为y0y＝p(x＋x0). (9)点M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)内，过点M作抛物线的弦AB，分别过A，B作抛物线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线y0y＝p(x＋x0). 课前训练 1．已知A点的坐标为(－，0)，B是圆F：(x－)2＋y2＝4上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 解析：B　由题意，圆F：(x－)2＋y2＝4，可得圆心坐标为F(，0)，半径为r＝2， 因为线段AB的垂直平分线交BF于P，可得|PA|＝|PB|， 所以|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2>|AF|＝1， 根据椭圆的定义，可得点P的轨迹为以点A，F为焦点的椭圆．故选B. 2．(2025·天津红桥一模)已知直线y＝kx与圆C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交抛物线y2＝2px(p>0)于点P，若|OP|＝8，O是坐标原点，则以P为圆心，p为半径的圆与圆C的位置关系为(　　) A．相交 B．内含 C．外离 D．外切 解析：C　根据＝，解得k＝±，结合抛物线的对称性，只需考虑k＝的情形． 联立方程 解得或 所以|OP|＝＝＝8， 解得p＝6，此时点P(4，4)，圆P的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝36. 因为圆C和圆P的圆心距d＝＝2>＋6， 所以两圆外离．同理，当k＝－时，两圆也外离．故选C. 3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点的坐标为(1，0)，一条切线的方程为x＋y＝7，则椭圆C的离心率e＝_____． 解析：　 联立直线与椭圆方程 可得(a2＋b2)x2－14a2x＋49a2－a2b2＝0. 由x＋y＝7为椭圆切线， 则有Δ＝196a4－4(a2＋b2)(49a2－a2b2)＝0， 化简得a4b2＋a2b4＝49a2b2. 又a>b>0，故a2＋b2＝49. 又椭圆的一个焦点的坐标为(1，0)，故有a2－b2＝1， 则a2＝25，故a＝5，则e＝. 4．(2025·云南昆明高三校考)已 ... ...