5.5 数学归纳法 基础过关练 考点一 用数学归纳法证明等式 1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N+),则当第一步验证n=1时,左边应取的项是( ) A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4 2.用数学归纳法证明2+4+6+8+…+2n=2n-1+22n-2(n∈N+)的过程中,由n=k到n=k+1,等式左边增加的项数为( ) A.1 B.2k-1 C.2k D.2k+1 3.用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=(n∈N+)时,从k到k+1(k∈N+),等式左边需要增加的代数式是 . 4.用数学归纳法证明: (1)1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N+); (2)cos·cos·cos·…·cos=(n∈N+). 考点二 用数学归纳法证明不等式 5.用数学归纳法证明不等式:++…+(n∈N+)时,从n=k到n=k+1,不等式左边需要增加的项为( ) A. B.+ C.- D.- 6.用数学归纳法证明不等式1+++…+对任意n>k(n,k∈N)的自然数都成立,则k的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=-3,S4=2(a5+1),数列{bn}的前n项和为Tn,且b1=-1,bn+1=TnTn+1(n∈N+). (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)记cn=,n∈N+,用数学归纳法证明:c1+c2+…+cn1,n∈N+). 考点三 用数学归纳法解决归纳—猜想—证明问题 10.观察下列式子:1+<,1++<,1+++<,……,则可归纳出1+++…+(n∈N+)小于( ) A. B. C. D. 11.正项数列{an}中,若a1+a2+a3+…+an=,n∈N+,则a2 023的值是( ) A.+ B.+ C.- D.- 12.已知数列{an}和{bn},其中an=1+3+5+…+(2n+1),bn=1+2+…+2n-1,当n∈N+时,试比较an与bn的大小,并用数学归纳法证明你的结论. 13.在数列{an}中,a1=1,a2=,且an+1=(n≥2). (1)求a3,a4,猜想an的表达式,并加以证明; (2)设bn=,求证:对任意n∈N+,都有b1+b2+…+bn<. 答案 基础过关练 1.D 2.B 当n=k时,等式为2+4+6+8+…+2k=2k-1+22k-2, 当n=k+1时,等式为2+4+6+8+…+2k+(2k+2)+(2k+4)+…+(2k+2k)=2k+22k,易得等式左边增加的项数为=2k-1. 3.答案 (k+1)2+k2 解析 当n=k时,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12, 当n=k+1时,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12, 两式作差得(k+1)2+k2. 4.证明 (1)当n=1时,左边=1,右边=12=1,等式成立. 假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,等式成立,即1+3+5+…+(2k-1)=k2,那么当n=k+1时,1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2,即当n=k+1时等式也成立. 综上,1+3+5+…+(2n-1)=n2对于任意n∈N+成立. (2)当n=1时,左边=cos,右边===cos,等式成立. 假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,等式成立,即cos·cos·…·cos=, 那么当n=k+1时,coscos…coscos====,即当n=k+1时等式也成立. 综上,cos·cos·cos·…·cos=对于任意n∈N+成立. 5.D 当n=k时,不等式的左边为++…+, 当n=k+1时,不等式的左边为++…+,故从n=k到n=k+1,左边需要增加的项为+-=-. 6.B 当n=k时,不等式左边为1+++…+,共(2k-1)项,当n=k+1时,不等式左边为1+++…++++…+,共(2k+1-1)项, 所以不等式左边增加了(2k+1-1)-(2k-1)=2×2k-2k=2k项. 7.B 当n=1时,左边==,右边==,<,不等式不成立; 当n=2时,左边==,右边==,<,不等式不成立; 当n=3时,左边==,右边==,>,不等式成立, 故若不等式对任意n>k(n,k∈N)的自然数都成立,则k的最小值为2. 8.解析 (1)设等差数列{an}的公差为d, 由 解得故an=a1+(n-1)d=-1-2(n-1)=-2n+1. 由bn+1=Tn·Tn+1,得Tn+1-Tn=Tn·Tn+1,即-=-1,又T1=b1=-1, 所以是首项为-1, ... ...
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