第十八章 分式 数学活动 课件(共24张PPT) 2025-2026学年数学人教版八年级上册

(课件网) 数学活动　探究比例的性质 　　在比例里，两个外项的积等于两个内项的积． 　　1．比例的基本性质 　　如果 a∶b＝c∶d（b，d不为0），那么 ad＝bc．也可以写成： 如果 ＝ （b，d不为0），那么 ad＝bc. 　　 2．用字母表示比例的基本性质 　　反过来，如果 ad＝bc（a，b，c，d 不为0），那么 ＝ . 思考 　　若 ＝ （其中 a，b，c，d 均不为 0），下列各组中的两个分式之间分别有什么关系？ 　　（1） 和 ； （2） 和 ； 　　（3） 和 ； （4） 和 （a≠b，c≠d）． 　　分析：用特殊值法进行试验． 　　找几组都不为 0 的数 a，b，c，d，使得 ＝ 成立（即a，b，c，d 成比例）． 探究 　　（1）取 a＝1，b＝2，c＝3，d＝6； 　　（2）取 a＝1，b＝3，c＝2，d＝6； 　　（3）取 a＝4，b＝1，c＝12，d＝3． 取特殊值试验时，为避免偶然性，多取几组值试验． 　　由这几组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系． 　　（1） 和 ； （2） 和 ； 　　（3） 和 ； （4） 和 （a≠b，c≠d）． 探究 分式 1 分式 2 关系 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 　　（1）取 a＝1，b＝2，c＝3，d＝6； 　　（2）取 a＝1，b＝3，c＝2，d＝6； 分式 1 分式 2 关系 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 　　（3）取 a＝4，b＝1，c＝12，d＝3． 分式 1 分式 2 关系 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 猜想 　　你能运用分式的基本性质和运算法则对以上猜想进行证明吗？ 　　当 ＝ （其中 a，b，c，d 均不为 0）时，有： 　　（1） ＝ ； （2） ＝ ； 　　（3） ＝ ； （4） ＝ （a≠b，c≠d）． 　　（1）如果 ＝ （a，b，c，d 均不为 0），那么 ＝ ． 证明 　　证明：∵ ＝ ， 　　∴ ad＝bc． 　　方程两边同时除以 cd，得 ＝ ． 　　（2）如果 ＝ （a，b，c，d 均不为 0），那么 ＝ ． 　　证明：∵ ＝ ， 　　 ∴ bc＝ad． 　　方程两边同时除以 ac，得 ＝ ． 　　（3）如果 ＝ （a，b，c，d 均不为 0），那么 ＝ ． 　　证明：∵ ＝ ， 　　 ∴方程两边同时加 1，得 ＋1＝ ＋1， 　　即 ＝ ． ＋1 ＋1 　　证明：∵ ＝ ， 　　∴ ＋1＝ ＋1， －1＝ －1， 　　即 ＝ ， ＝ ． 　　（4）如果 ＝ （a≠b≠0，c≠d≠0），那么 ＝ ． 　　由 ＝ ，得 ＝ ； 　；由 ＝ ，得 ＝ ． 　　∴ ＝ ． 　　∴ ＝ ． 　　除了上面的证明方法，你还有其他方法对以上猜想进行证明吗？ 思考 　　可以利用作差法“若A－B＝0，则A＝B”对以上猜想进行证明． 例如， 　　求证：如果 ＝ （a，b，c，d 均不为 0），那么 ＝ ． 　　证明：∵ ＝ ， ∴ ad＝bc． 　　∴ － ＝ ＝0，　∴ ＝ ． 结论 　　更比式： ＝ ； 　　反比式： ＝ ； 　　合比式： ＝ ； 　　合分比式： ＝ （a≠b，c≠d）． 　　如果 ＝ （其中 a，b，c，d 均不为 0），那么 追问 　　如果 ＝ （其中a，b，c，d 均不为 0），那么 ＝ ． 　　证明：∵ ＝ ， 　　 ∴方程两边同时减 1，得 －1＝ －1， 　　即 ＝ ． 分比式 获得数学结论的一种重要途径： 　　先通过合情推理提出猜想，再通过逻辑推理证明猜想，最后得出结论． 　　例1　若 ＝ ，则 ＝ ． 　　解析： ＝ ， 由合比式可得 ＝ ＝ ． 　　你还有其他方法吗？ 　　例2　若 x∶y∶z＝3∶4∶7，且 2x－y＋z＝18，则 x＋2y－z＝_____． 　　分析：出现连比，可设参数k，把 2x－y＋x＝18 转化为关于参数 k 的一元一次方程． 　　解析： 设x＝3k，则 y＝4k，z＝7k． 　　∵ 2x－y＋z＝18， 　　∴ 2x－y＋z＝6k－4k＋7k＝9k＝18， 　　∴ k＝2． ∴ x＝6，y＝8，z＝14． 　　∴ x＋2y－z＝ 6＋2×8－14＝8． 　　例2　若 x∶y∶z＝3∶4∶7，且 2x－y＋z＝18，则 x＋2y－z＝_____ ... ...