专题6 圆 第22讲 圆的有关概念和性质 A组 1．(2024·凉山州)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则圆形工件的半径为( C ) A．50 cm B．35 cm C．25 cm D．20 cm 2．(2025·山西)如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD．若＝，则∠D的度数为( B ) A．30° B．45° C．60° D．75° 3．(2025·青海)如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是( B ) A．80° B．50° C．40° D．25° 4．(2025·长沙)如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC．若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO的度数为( C ) A．40° B．45° C．50° D．55° 5．(2025·甘肃)如图，四边形ABCD内接于⊙O，＝，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为( C ) A．20° B．35° C．55° D．70° 6．(2024·北京)如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径)．若∠D＝35°，则∠C＝ 55 °． 7．(2024·牡丹江)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为 3 ． 8．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB． (1)写出图中一个度数为30°的角： ∠1(或∠2，∠3，∠4) ，图中与△ACD全等的三角形是 △BCD ； (2)求证：△AED∽△CEB； (3)连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由． 解：(2)证明：∵∠ADE＝∠CBE＝90°，∠3＝∠CAE－∠CAB＝90°－60°＝30°＝∠2， ∴△AED∽△CEB． (3)四边形OAEB为菱形． 理由如下：∵∠CAE＝90°，∠1＝30°， ∴AE＝CE．同理可证，BE＝CE． ∴OA＝OB＝AE＝BE， ∴四边形OAEB为菱形． B组 9．(2024·连云港)如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ 90 °． 10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是 ． 11．(2025·浙江)如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是AD上一点，连接EB，EC分别交于点F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的直径为 2 ． C组 12．(2024·苏州)如图，△ABC中，AB＝4，D为AB中点，∠BAC＝∠BCD，cos∠ADC＝，⊙O是△ACD的外接圆． (1)求BC的长； (2)求⊙O的半径． 解：(1)∵∠BAC＝∠BCD，∠B＝∠B， ∴△BAC∽△BCD，∴＝． ∵AB＝4，D为AB中点， ∴BD＝AD＝2，∴BC＝4． (2)过点A作AE⊥CD于点E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF， ∵在Rt△AED中，cos∠CDA＝＝， 又AD＝2，∴DE＝1， ∴AE＝＝7． ∵△BAC∽△BCD，∴＝＝． 设CD＝x，则AC＝x，CE＝x－1， ∵在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2， ∴(x)2－(x－1)2＝()2，即x2＋2x－8＝0， 解得x1＝2，x2＝－4(舍去)， ∴CD＝2，AC＝2． ∵∠AFC与∠ADC都是AC所对的圆周角， ∴∠AFC＝∠ADC． ∵CF为⊙O的直径，∴∠CAF＝90°， ∴sin∠AFC＝＝sin∠CDA＝＝， ∴CF＝，即⊙O的半径为． 第23讲 与圆有关的位置关系 A组 1．(2024·广州)如图，⊙O中，弦AB的长为4，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是( C ) A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 2．(2024·山西)如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD＝80°，则∠C的度数为( D ) A．30° B．40° C．45° D．50° 3．如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC的长度是( C ) A．3 B．2 C． D．6 4．(2025·自贡)PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点 ... ...
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