(课件网) 15.1.2线段的垂直平分线 数字人教版八年级上册 在学习任务单上画出线段 AB 及其中点 P ，再过点 P 画出 AB 的垂线 l，沿直线 l 将纸对折，线段 PA 和 PB 有什么关系？ 如图，经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线．直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，即是线段 AB 的对称轴． A l B P 线段 PA 和 PB 完全重合． 思考 研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系． 这节课，我们一起来探讨线段的垂直平分线的相关性质．请你类比前面研究角的平分线的方法，想一想，可以怎样研究线段的垂直平分线？ 如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1 ，P2 ，P3 ，……在 l 上，分别比较点 P1 ，P2 ，P3 ，……与点 A 的距离和这些点与点 B 的距离，你有什么发现？ 问题1 A B l P1 P2 P3 P1A＝P1B，P2A＝P2B，P3A＝P3B，…… 发现 思考 如果把线段 AB 沿直线 l 对折， 线段 P1A 与 P1B，线段P2A 与 P2B，线段P3A与 P3B， ……有什么关系？ 如果把线段 AB 沿直线 l 对折， 线段 P1A 与 P1B，线段P2A 与 P2B，线段P3A与 P3B， ……有什么关系？ 思考 A B l P1 P2 P3 发现 线段 P1A 与 P1B，线段P2A 与 P2B，线段P3A与 P3B，……它们都重合，都分别相等． 猜想 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 验证 已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC＝BC，点 P 在 l 上． 求证：PA＝PB． 证明：当点 P 与点 C 不重合时， ∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA＝∠PCB． 又 AC＝BC，PC＝PC ， ∴ △PCA≌△PCB（SAS）， ∴ PA＝PB． A B l P C 当点 P 与点 C 重合时，显然成立． 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 新知 线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，AD⊥BC，BD＝DC，点 C 在 AE 的垂直平分线上．AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB＋BD 与 DE 有什么关系？ A B E D C 解：AB＝AC＝CE，AB＋BD＝DE ． ∵ AD⊥BC，BD＝DC， ∴ AD 是 BC 的垂直平分线． ∴ AB＝AC． 又 点 C 在线段 AE 的垂直平分线上， ∴ AC＝CE． ∴ AB＝AC＝CE． 又 BD＝DC， ∴ AB＋BD＝CE＋DC． 即 AB＋BD＝DE． 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？ 即与线段两个端点距离相等的点是否在这条线段的垂直平分线上？ 问题2 猜想 这样的点在线段的垂直平分线上． 请你写出已知、求证，画出图形，尝试证明. 验证 已知：如图，在△ABP 中，PA＝PB. 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． 证明：过点 P 作 PC 垂直于 AB，垂足为 C ，则∠PCA＝∠PCB＝90°． 当点 P 与点 C 不重合时， ∵ PA＝PB，PC＝PC， ∴ Rt△PAC ≌ Rt△PBC（HL）， ∴ AC＝BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． A B P C 当点 P 与点 C 重合时，结论显然也成立． 新知 线段的垂直平分线的定理： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合． 如图，AB＝AC，MB＝MC．直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？为什么？ 解：直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线． ∵ AB＝AC ， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上， ∵ MB＝MC． ∴ 点 M 在线段 BC 的垂直平分线上， ∴ 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线． A B M C 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 问题3 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 两个命题的题设、结论正好相反． 新知 两个命题的 ... ...
