16.3.1 平方差公式 课件(共21张PPT) 2025-2026学年人教版八年级数学上册

(课件网) 16.3.1 平方差公式 第十六章 整式的乘法 人教版2024·八年级上册 素养目标，三维聚焦 数学抽象：从多项式乘法特例中抽象出平方差公式的结构特征，能用符号语言精准表达公式，建立“具体实例→一般规律”的抽象思维； 逻辑推理：通过代数推导与几何验证（割补法）双向论证公式合理性，培养演绎推理与数形结合的推理能力； 数学建模：运用平方差公式解决实际问题（如面积计算、简便运算），体会数学模型在解决实际问题中的应用价值. 数学运算：熟练掌握公式直接应用、符号变形、整体代换等运算技巧，提升运算准确性与简便运算意识; 情境激趣 温故导入 我去商店买了单价是9.8元/千克的苹果10.2千克，售货员刚拿起计算器说道：9.8×10.2，我就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合！ 你知道这里的计算有什么技巧吗？ 复习巩固 引出新知 计算：（1）(x+1)(x-1) （2）(m+2)(m-2) （3）(2x+1)(2x-1) 思考：多项式与多项式的乘法运算是怎样进行的？ 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （a + b）（p + q）= ap +aq +bq +bp =x2 – 1 =m2 – 4 =4m2 – 1 探究本质 推导公式 计算：（1）(x+1)(x-1) （2）(m+2)(m-2) （3）(2x+1)(2x-1) =x2 – 1 =m2 – 4 =4m2 – 1 都是形如 a + b 的多项式与 a – b 的多项式相乘 x2 – 1 m2 – 22 (2m)2 – 1 运算结果都是这两个数的平方的差 猜想： (a + b)(a – b) = a2 – b2 探究本质 推导公式 (a + b)(a – b) + = a2 (–ab) ab (–b2) + + 证明一：利用多项式乘多项式的法则. = a2 – b2 探究本质 推导公式 a b a (a – b) 纸片剩余面积： a2 – b2 拼成的长方形面积： (a – b)(a + b) (a – b) (a – b)(a + b) = a2 – b2 证明二：利用几何图形. b 探究本质 推导公式 （乘法的）平 方 差 公 式 文字语言 两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积，等于这两个数(式子)的平方差． (a+b)(a b)=a2 b2. 注意用谁减谁 平方差公式是多项式乘法 (a+b)(p+q) 中 p = a，q = –b 的特殊情形. 理解感悟 辨析概念 思考1：下列各式能否用平方差公式进行计算？ 思考2：若能，请说出公式中的a和b,以及a2-b2. （1）(1+x)(1-x) （2）(-3+a)(-3-a) （3）(1+a)(-1+a) （4）(-x+1)(-x+1) （5）(0.3m-1)(-1-0.3m) 能 a=1 b=x a2-b2=12-x2 能 a=-3 b=a a2-b2=(-3)2-a2 能 a=a b=1 a2-b2=a2-12 不能 能 a=-1 b=0.3m a2-b2=(-1)2-(0.3m)2 结构特征：(相同项)2 – (相反项)2 典例精析 规范过程 例1　运用平方差公式计算：　 (1) (3x + 2)(3x – 2)； (2) (–x + 2y)(–x – 2y). 解：(1) 原式 = (3x)2 – 22 = 9x2 – 4 (2) 原式 = (–x)2 – (2y)2 = x2 – 4y2 分析：(1) a = ___，b = ____ (2) a = ___，b = ____ 3x 2 –x 2y 变式训练 理解公式 （1）(a+3)(a-3) =a2-9 变系数 （2）(2a+3)(2a-3) =4a2-9 变符号 （3）(-2a+3)(-2a-3) =4a2-9 变位置 （4）(3-2a)(-2a-3) =4a2-9 变指数 （5）(3-2a2)(-2a2-3) =4a4-9 变项数 （6）(a+b+3)(a+b-3) =(a+b)2-9 以不变应万变！ 典例精析 规范过程 例2 计算： (1) (x 1)(x+1)(x2+1) ； (2) (y+2)(y 2) (y 1)(y+5) ； (3) 102×98. 解： (1)原式=(x2 1)(x2+1) =x4 1 ； (3)原式=(100+2)(100 2)=1002 22=10 000 4=9 996 . (2)原式=y2 22 (y2+4y 5)=y2 4 y2 4y+5= 4y+1 能用平方差公式计算吗？ 通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算. 学以致用 解决问题 我去商店买了单价是9.8元/千克的苹果10.2千克，售货员刚拿起计算器说道：9.8×10.2，我就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合！ 你知道这里的计算有什么技巧吗？ 9.8 ... ...