(
课件网) 北师大（2024）版数学七年级上册 第五章 一元一次方程 5.3.2 “盈余不足”问题 应用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？ 第 1 页：情境导入 ———多了”“少了” 如何列方程？ 实际问题（配图提示：分物品场景）： 问题 1：把一批笔记本分给学生，若每人分 3 本，还剩 8 本；若每人分 5 本，还差 2 本。求学生人数和笔记本总数。 问题 2：用一批布料做衣服，若每件衣服用布 2 米，还剩 3 米；若每件衣服用布 2.5 米，还差 12 米。求衣服件数和布料总长度。 思考：这类问题的共同点是什么？（两种分配方案，总数量不变 ——— 如笔记本总数、布料总长度，分配时一种 “盈余”、一种 “不足”）如何利用 “总数量相等” 建立方程？ 第 2 页：解题核心思路 ———不变量” 建模 核心分析： 盈余不足问题的关键是找到 “不变量”（如物品总数、人数、总长度等），两种分配方案的不变量相等，这是列方程的依据； 关键词定义： 盈余：分配后剩余的数量（如 “剩 8 本”“剩 3 米”）； 不足：分配时缺少的数量（如 “差 2 本”“差 12 米”）。 核心步骤（口诀：“设人数，表总量，两总量，相等列”）： 设未知数：通常设分配的份数（如人数、衣服件数）为\(x\)（设 “份数” 更易表示两种分配方案的总量）； 表示总数量： 方案 1（盈余）：总数量 = 每份数量 × 份数 + 盈余数量； 方案 2（不足）：总数量 = 每份数量 × 份数 不足数量； 建立方程：两种方案的总数量相等 → 方案 1 总量 = 方案 2 总量； 解方程：求解份数\(x\)； 求总数量：代入任意一种方案的总量表达式，计算不变量； 验证与作答：验证结果是否符合两种分配场景，规范作答。 第 3 页：实例解析 1——— 物品分配问题 例 1：笔记本分配问题（情境导入题 1） 题目：每人分 3 本剩 8 本，每人分 5 本差 2 本，求学生人数和笔记本总数。 步骤 1：设未知数 ——— 设学生人数为\(x\)人（分配份数为人数）； 步骤 2：表示总数量： 方案 1（盈余）：笔记本总数 = 3x + 8（每人 3 本 × 人数 + 剩 8 本）； 方案 2（不足）：笔记本总数 = 5x - 2（每人 5 本 × 人数 差 2 本）； 步骤 3：建立方程（总数相等）→ \(3x + 8 = 5x - 2\)； 步骤 4：解方程： 移项 → \(8 + 2 = 5x - 3x\)； 合并同类项 → \(10 = 2x\)； 系数化为 1 → \(x = 5\)（学生人数为 5 人）； 步骤 5：求笔记本总数 ——— 代入方案 1：\(3×5 + 8 = 23\)（本）（或方案 2：\(5×5 - 2 = 23\)本，结果一致）； 验证：5 人分 3 本剩 8 本（15+8=23），分 5 本需 25 本差 2 本（25-2=23），符合题意； 答：学生有 5 人，笔记本总数为 23 本。 例 2：图书分配问题 题目：某班图书角有一批图书，若每人借 4 本，则余 30 本；若每人借 6 本，则缺 10 本。求该班人数和图书总数。 步骤 1：设该班人数为\(x\)人； 步骤 2：总量表示：方案 1=4x + 30，方案 2=6x - 10； 步骤 3：方程 → \(4x + 30 = 6x - 10\)； 步骤 4：解方程 → \(30 + 10 = 6x - 4x\) → \(2x=40\) → \(x=20\)（人）； 步骤 5：图书总数 = 4×20 + 30=110（本）； 验证：20 人借 4 本需 80 本余 30 本（80+30=110），借 6 本需 120 本缺 10 本（120-10=110），符合题意； 答：该班有 20 人，图书总数为 110 本。 第 4 页：实例解析 2——— 资源分配问题（布料、粮食等） 例 3：布料做衣服问题（情境导入题 2） 题目：每件衣服用布 2 米剩 3 米，每件用布 2.5 米差 12 米，求衣服件数和布料总长度。 步骤 1：设衣服件数为\(x\)件； 步骤 2：总量表示：方案 1=2x + 3（布料总长），方案 2=2.5x - 12； 步骤 3：方程 → \(2x + 3 = 2.5x - 12\)； 步骤 4：解 ... ...
