5.3.1 二元一次方程组的应用--古算问题 课件(共30张PPT)-数学北师大版（2024）八年级上册

(课件网) 北师大（2024）版数学8年级上册 第五章 二元一次方程组 5.3.1 二元一次方程组的应用--古算问题 视频导入 第 1 页：封面 标题：5.3.1 二元一次方程组的应用 ——— 古算问题 副标题：人教版初中数学七年级下册 制作者：XXX 背景图：古代算书竹简示意图 + 经典古算问题 “鸡兔同笼” 图文，突出 “古算今解” 的核心 第 2 页：情境导入 ——— 古算文化与问题激趣 古算文化渗透： 中国古代数学成就辉煌，《九章算术》《孙子算经》等典籍中记载了大量实际问题，古人通过算术方法求解，而我们可借助二元一次方程组更便捷地破解。 经典问题引入（鸡兔同笼）： 今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？（出自《孙子算经》） 思考设问： 若设鸡有 x 只，兔有 y 只，如何用方程组表示 “三十五头” 和 “九十四足” 的数量关系？ 古算问题的核心是找到两个等量关系，如何快速从文言描述中提炼？ 课题引入：今天我们用二元一次方程组解锁古算问题，感受 “古题今解” 的智慧！ 第 3 页：探究一：古算问题的建模步骤 核心思路（加粗）： 古算问题→翻译文言→找等量关系→设未知数→列方程组→求解→检验作答 步骤详解（以鸡兔同笼为例）： 第一步：翻译文言，明确题意： 鸡和兔共 35 只，脚的总数为 94 只，求鸡和兔的数量； 第二步：找等量关系（关键）： ① 鸡的数量 + 兔的数量 = 总头数（35）； ② 鸡的脚数（2x） + 兔的脚数（4y） = 总脚数（94）； 第三步：设未知数： 设鸡有 x 只，兔有 y 只； 第四步：列方程组：\(\begin{cases}x + y = 35\\2x + 4y = 94\end{cases}\) 第五步：求解（加减消元法）： ①×2：2x + 2y = 70 ③； ② - ③：2y = 24→y=12； 回代 x=35-12=23； 第六步：检验作答： 鸡 23 只（46 足），兔 12 只（48 足），共 35 头、94 足，符合题意→鸡 23 只，兔 12 只。 第 4 页：例题讲解（鸡兔同笼变式 ——— 牛羊价值问题） 例 1：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊各直金几何？（出自《九章算术》，意为：5 头牛、2 只羊价值 10 两金；2 头牛、5 只羊价值 8 两金，求每头牛、每只羊的价值） 解： 第一步：提炼等量关系： ① 5 头牛价值 + 2 只羊价值 = 10 两； ② 2 头牛价值 + 5 只羊价值 = 8 两； 第二步：设未知数： 设每头牛直金 x 两，每只羊直金 y 两； 第三步：列方程组：\(\begin{cases}5x + 2y = 10 \\2x + 5y = 8 \end{cases}\) 第四步：求解（加减消元法，化同系数）： ①×2：10x + 4y = 20 ③； ②×5：10x + 25y = 40 ④； ④ - ③：21y = 20→y=20/21； 回代①：5x + 2×(20/21)=10→5x=10 - 40/21=170/21→x=34/21； 第五步：检验作答： 5×(34/21) + 2×(20/21)=170/21 + 40/21=210/21=10（成立）； 2×(34/21) + 5×(20/21)=68/21 + 100/21=168/21=8（成立）； 答：每头牛直金 34/21 两（约 1.62 两），每只羊直金 20/21 两（约 0.95 两）。 第 5 页：例题讲解（古算行程问题 ——— 相遇问题） 例 2：今有甲乙二人，相距三百步，甲速七十步 / 分，乙速五十步 / 分，二人同时相向而行，问几何分钟后相遇？（改编自《九章算术》） 解： 第一步：提炼等量关系： ① 甲走的步数 + 乙走的步数 = 总距离（300 步）； ② 行走时间相同（设为 t 分钟）； 第二步：设未知数： 设 t 分钟后相遇，甲走 x 步，乙走 y 步； 第三步：列方程组：\(\begin{cases}x + y = 300\\x = 70t\\y = 50t\end{cases}\)（三元转化为二元，代入得\(\begin{cases}70t + 50t = 300\\x + y = 300\end{cases}\)） 第四步：简化求解： 70t + 50t = 300→120t=300→t=2.5； 则 x=70×2.5=175，y=50× ... ...