18.5.1分式方程及其解法 课件（共26张PPT）-人教版（2024）数学八年级上册

(课件网) 人教版（2024）版数学8年级上册 第十八章 分式 18.5.1分式方程及其解法 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？ 等量关系 v顺流 = v静水 + v水流 v逆流 = v静水 – v水流 教学目标 1. 知识与技能：理解分式方程的定义，能准确识别分式方程；掌握分式方程的解法，核心是通过“去分母”转化为整式方程求解，熟练掌握验根的必要性及方法；能独立解简单的分式方程。 2. 过程与方法：通过对比整式方程，经历“观察识别—转化求解—检验反思”的过程，体会“转化思想”在解方程中的应用，培养逻辑推理和严谨解题的能力。 3. 情感态度与价值观：感受数学知识间的联系，认识到验根是保证解题正确性的关键，培养严谨的数学思维习惯和实事求是的学习态度。 二、教学重难点 - 重点：分式方程的解法，包括“去分母”转化为整式方程、解整式方程及检验根的步骤。 - 难点：理解分式方程验根的必要性；掌握“去分母”时最简公分母的确定及符号的正确处理。 三、教学过程 （一）复习衔接：引出新知（5分钟） 1. 回顾旧知： - 什么是整式？举例说明：如\(2x\)、\(x^2 + 3x - 1\)等，分母中不含未知数的代数式是整式。 - 什么是分式？举例说明：如\(\frac{1}{x}\)、\(\frac{x + 1}{x - 2}\)等，分母中含有未知数的代数式是分式（分母不为0）。 - 解整式方程\(2x - 1 = 3\)的步骤：移项→合并同类项→系数化为1，解得\(x = 2\)。 2. 情境提问：甲、乙两人做同样的零件，甲每小时做3个，乙每小时做\(x\)个，甲比乙多做1小时才能完成12个零件，求乙每小时做多少个？ 列方程：甲完成时间为\(\frac{12}{3} = 4\)小时，乙完成时间为\(\frac{12}{x}\)小时，根据题意得\(\frac{12}{x} + 1 = 4\)。这个方程与我们之前学的整式方程有何不同？引出本节课主题———分式方程及其解法。 （二）新知定义：分式方程的识别（5分钟） 1. 分式方程的定义 观察下列方程，找出它们的共同特征： - （1）\(\frac{12}{x} + 1 = 4\)；（2）\(\frac{x + 1}{x - 2} = 3\)；（3）\(\frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x + 2}\) 归纳定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 整式方程与分式方程的辨析 判断下列方程是否为分式方程： 方程 是否为分式方程 理由 \(2x + 3 = 5\) 否 分母中不含未知数，是整式方程 \(\frac{1}{x} = 2\) 是 分母中含有未知数\(x\) \(\frac{x + 1}{3} = x - 2\) 否 分母为常数3，不含未知数 \(\frac{2}{x - 3} = \frac{x}{x + 1}\) 是 分母中含有未知数\(x\) 判断关键：看方程中是否有分母含未知数的项，与分子是否含未知数无关。 （三）核心探究：分式方程的解法（15分钟） 1. 解法思路：转化思想 分式方程→（去分母）→整式方程→解整式方程→检验→确定分式方程的解。 核心：利用等式的性质，在方程两边同乘各分母的最简公分母，消去分母，将分式方程转化为我们熟悉的整式方程。 2. 实例演示：解分式方程\(\frac{12}{x} + 1 = 4\) 步骤详解： 1. 步骤一：确定最简公分母：方程中分母为\(x\)，最简公分母就是\(x\)（\(x≠0\)）。 2. 步骤二：去分母，转化为整式方程：方程两边同乘\(x\)，得\(12 + x = 4x\)（注意：每一项都要乘\(x\)，包括常数项1）。 3. 步骤三：解整式方程：移项得\(x - 4x = -12\)，合并同类项得\(-3x = -12\)，系数化为1得\(x = 4\)。 4. 步骤四：检验：将\(x = 4\)代入原分式方程的分母，分母\(x = 4≠0\)，代入左边得\(\frac{12}{4} + 1 = 3 + 1 = 4\)，与右边相等，故\(x = 4\)是原分式方程的解。 3. 深化探究：为什么要验根？ 例：解分式 ... ...