点差法在圆锥曲线中的应用（两个教案）

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为、 为的中点 　　 又、两点在椭圆上，则， 两式相减得 于是 即，故所求直线的方程为，即。 例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线　，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点平分的弦，且、 则， ， 两式相减，得 　 故直线 由　消去，得 这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。 解：设弦端点、，弦的中点，则 ， 又 ， 两式相减得 即 ，即 点的坐标为。 例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 解：设弦端点、，弦的中点，则 ， 又 ， 两式相减得 即，即 ，即 由，得 点在椭圆内 它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 例5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。 解：设椭圆的方程为，则┅┅① 设弦端点、，弦的中点，则 ， ， 又， 两式相减得 即 ┅┅② 联立①②解得， 所求椭圆的方程是 四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 例6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。 解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则， 两式相减得， 即 ，， 　　这就是弦中点轨迹方程。 它与直线的交点必须在椭圆内 联立，得　则必须满足， 即，解得 五、注意的问题 （1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。 利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简 捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。解析几何专题———点差法 在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 求弦中点的轨迹方程 例1 已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程. 解 设弦的两个端点分别为，的中点为. 则，（1），（2） 得：， . 又，. 弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知椭圆内）. 例2 直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 . 解 设，中点，则. ，过定点，. 又，（1），（2） 得：， . 于是，即. 弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为 ... ...