(
课件网) 2026年高考数学一轮复习专题课件★★ 抛物线(二) ①相切：k≠0，Δ＝0； ②相交：k≠0，Δ>0或k＝0； ③相离：k≠0，Δ<0. 回归教材 直线与抛物线的位置关系 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y1>y2，则有下列性质： (1)y1y2＝_____，x1x2＝_____． －p2 (5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． (6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． (7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上． 1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”) (1)若直线与抛物线相交，则它们有两个公共点． 夯实双基 答案 (1)× (2)所有的焦点弦中，通径的长最短． 答案 (2)√ (3)若直线l过(2p，0)，与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，O为原点，则OA⊥OB. 答案 (3)√ (4)若过准线上一点P作抛物线的两条切线，A，B为切点，则直线AB过抛物线焦点． 答案 (4)√ (5)若AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点的一条弦，BB1⊥准线于B1，O为原点，则A，O，B1三点共线． 答案 (5)√ 2．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x有且仅有一个公共点，这样的直线有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 √ 解析 两条切线，还有一条平行于x轴． 3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( ) A．9 B．8 C．7 D．6 √ ∴抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1. 根据抛物线的定义，得 ∴|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2， 又∵PQ经过焦点F，且x1＋x2＝6， ∴|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8. √ 5. (人教A版选修一P138习题3.3T5改编)如图，M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边，FM为终边的角∠xFM＝60°，则|MF|＝_____． 4 题型一 焦点弦问题 已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，θ为直线AB的倾斜角，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证： 【答案】 (1)证明见解析 【思路】 (1)写出焦点F的坐标 ，由点斜式写出过焦点F的直线方程，注意讨论斜率是否存在，然后与y2＝2px联立，再由根与系数的关系即得； 【思路】 (2)中|AB|＝|AF|＋|BF|，再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离即可； 【答案】 (2)证明见解析 【思路】 (3)中S△AOB＝S△AOF＋S△BOF，再由面积公式求得； 【答案】 (3)证明见解析 【答案】 (4)证明见解析 【思路】 (4)中将点到焦点的距离转化为点到准线的距离； (5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 【答案】 (5)证明见解析 【证明】 (5)设AB的中点为M，分别过A，M，B作准线的垂线，垂足分别为C，N，D. 【讲评】 解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解． 状元笔记 (1)解决焦点弦问题时，要注意以下几点(以抛物线y2＝2px(p>0)为例)： ①设焦点弦与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)． ②因为(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，故满足y12＝2px1，y22＝2px2. ③利用y12y22＝4p2x1x2可以整体得到y1y2或x1x2. (2)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径，再转化为到准线的距离，再求解． √ 【解析】 方法一：作出抛物线的准线，过A，B分别向准线作垂线，垂足分别为A1，B1，过B点作BH⊥AA1于点H. 设|AF|＝m，|BF|＝n，由抛物线定义得|AA1|＝|AF|＝m，|BB1|＝|BF|＝n，∴|AH|＝m－n，|AB|＝m＋n. (2)(高考真题·全国卷)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( ) √ 【思路】 先求直线AB的方 ... ...
