专题五 圆尖子生练习（含答案）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

专题五圆尖子生练习 一、解答题 1.如图，四边形ABCD内接于，，，AC与BD交于点E，AD，BC的延长线交于点 若，求的度数； 若，，求的半径． 2.如图，四边形ABCD内接于，点C为的中点， 求证：四边形OBCD是菱形； 若的半径为r，，求四边形ABCD的面积用含r的代数式表示 3.在中，弦弦CD于点 如图①，连接BC，BD，当AB为的直径时，求证：； 如图②，连接BC，BD，AC，AD，若，，求BC的长． 4.如图，AB是的直径，点C在上运动点C不与点A，B重合，弦CD平分交AB于点E，连接AD， 若，，求OE的长； 若，设CD的长为x，的面积为S，求S关于x的函数关系式． 5.请阅读以下材料，并完成相应任务． 阿基米德公元前公元前212年，古希腊是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大“数学王子”． 阿拉伯年年的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图，AB和BC是的两条弦即折线ABC是圆的一条折弦，，M是的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即 如图①，在中，C是劣弧AB的中点，于点E，交于点D，则请证明此结论； 如图②，PA，PB组成的一条折弦，C是的中点，于点E，交于点D，证明：； 如图③，PA，PB组成的一条折弦，若C是优弧AB的中点，于点E，交于点D，求AE，PE与PB之间满足的数量关系． 6.如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，D是劣弧AC的中点，AC与BD相交于点E，过点D作于点F，交AC于点 判断的形状，并说明理由； 若，求的度数； 若，，求EG的长． 7.如图，是四边形ABCD的外接圆，BD是的直径，弦AC，BD相交于点E，过点A作于点G，交BD于点F，AC平分，延长AD，BC交于点H，连接 求证：； 求证：； 若，求的值． 8.如图①，在中，，，点A在半径为的上． 求证：AB是的切线； 为上一动点，CD与相切于点C， ①如图②，连接AD，BC，求证：； ②如图③，连接BD，若BD与只有一个交点E，求阴影部分的面积． 9.如图，内接于，D是优弧AC上一点，连接AD，CD，，过点D作交BC的延长线于点 是的切线吗？请作出你的判断并给出证明； 过点D作于点F，则 ；直接将结果填写在横线上 在的基础上，连接BD，记的面积为，的面积为，若，，试求y关于x的函数解析式不要求写出取值范围 10.如图，在矩形OABC中，，，D是射线OA上一动点，以OD为半径作 连接CD交于点E，连接OB，当DE的中点在OB上时，求OD的长； 当与边AB相切时，设与BC边交于点F，求劣弧AF的长； 连接AC，CD，若与有交点，请直接写出的取值范围． 11.如图①，在矩形ABCD中，，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动．点P，Q同时出发，运动时间为，是的外接圆． 当时，的半径是 cm；与直线CD的位置关系是 填“相切”“相交”或“相离”； 在点P从点A向点B运动的过程中，求圆心M的运动路径长； 当与矩形ABCD的边相切时，求t的值； 如图②，连接PD，交于点N，连接BN，当时，求t的值． 12.小明利用如图①所示的装置研究切割线定理，圆形轨道O与水平地面相切于点A，在水平地面点M处固定一根轻质弹簧，弹簧另一端与圆形轨道上的小车Q相连，让小车Q绕圆形轨道逆时针转动，弹簧所在直线QM与的另一个交点记为 特例感知如图②，当点P和点Q重合时，直线PM与的位置关系是 填“相切”“相交”或“相离”，线段AM，PM，QM满足的数量关系是 填“<”“=”或“>”； 问题探究 如图③，当直线MQ经过圆心O时，连接OA，可得是直角三角形，从而得到OA，OM，AM之间的数量关系，借助等量代换可得AM，PM，QM之间的数量关系，请结合以上思路写出AM，PM，QM之间的数量关系，并给出证明； 当点P在线段MQ上时，请就图①的情形，猜想线段AM，PM，QM之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 问 ... ...