4.1 数列的概念(同步练习.含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

中小学教育资源及组卷应用平台 4.1数列的概念 一．选择题（共6小题） 1．设数列{xn}为项数为n（n≥3，n∈N）的严格增数列，且每一项均为正整数．若对于数列{xn}中的任意两项xi、xj（1≤i＜j≤n），均有，则项数n的最大值为（　　） A．6 B．7 C．10 D．11 2．已知数列{an}满足：a1＝9，an+1﹣an＝n，则a4＝（　　） A．20 B．18 C．15 D．10 3．数列﹣2，，…的通项公式可以为（　　） A． B． C． D． 4．设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为单调递增数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝n2+3n+2，则下列判断正确的是（　　） A．数列{an}为等差数列 B．a5＝11 C．数列{Sn}存在最大值 D．数列存在最大值 6．对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列．现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，x1，x2，x3，…，5．记第n次得到的数列的各项之和为Sn，则{Sn}的通项公式Sn＝（　　） A．3n+1+3 B．3n+1+1 C．3n+3 D．3n+1 二．多选题（共3小题） （多选）7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，an＝an+1+3，则下列说法正确的是（　　） A．a5﹣a1＝﹣12 B．{an}是递增数列 C．当n＞4时，an＜0 D．当n＝3或4时，Sn取得最大值 （多选）8．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（　　） A．数列{an}是递增数列 B．S5＝60 C． D．数列{an}中最大项为第6项 （多选）9．下列数列{an}的通项公式中，是递增数列的是（　　） A．an＝﹣3n﹣1 B．an＝5n﹣3 C． D． 三．填空题（共4小题） 10．已知数列{an}的前4项分别为，则数列{an}的通项公式为an＝　 　 11．已知数列{an}的通项公式为，则{an}中最小项的值为 　 　 ． 12．数列{an}中，若存在ak，使得“ak≥ak﹣1且ak≥ak+1”成立，（k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个峰值．若an＝﹣3n2+11n，则{an}的峰值为 　 　 ；若an＝tlnn﹣n，且{an}不存在峰值，则实数t的取值范围为 　 　 ． 13．数列的最大项为第k项，则k＝ 　 　 ． 四．解答题（共2小题） 14．数列{an}的通项公式是． （1）这个数列的第4项是多少？ （2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ 15．若数列{an}与{bn}都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自{bn}的任意两项均不相邻，则称{an}为{bn}的“隔数列”． （1）若{an}是首项与公差均为整数的等差数列，bn＝2n，且数列a1，a2，a3是数列b1，b2，b3，b4的“隔数列”，求{an}的通项公式； （2）若an＝2n，{bn}是首项为1、公比为的等比数列，且数列a1，a2，a3，a4是数列b1，b2，b3，b4的“隔数列”，求整数m的值； （3）设{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，若{Sn}是{an+1}的“隔数列”，求q的取值范围． 4.1数列的概念 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．设数列{xn}为项数为n（n≥3，n∈N）的严格增数列，且每一项均为正整数．若对于数列{xn}中的任意两项xi、xj（1≤i＜j≤n），均有，则项数n的最大值为（　　） A．6 B．7 C．10 D．11 【考点】数列的函数特性． 【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑思维；运算求解． 【答案】D 【分析】根据得到，再从x1＝1开始逐个推导，求出最大值． 【解答】解：∵数列{xn}每一项均为正整数，且， ∴，所以， 设，则数列{yk}是严格递减数列， ∴可转化为，i＜j， 想要n尽量大，就要让yk尽量慢的递减，且xk必须是正整数， 从x1＝1开始 ... ...