第3章 空间向量与立体几何（单元测试.含解析）-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台 第3章 空间向量与立体几何 一．选择题（共6小题） 1．在四棱锥P﹣ABCD中，，，，则该四棱锥的高为（　　） A． B． C． D． 2．已知，，则是（　　） A．30° B．60° C．150° D．120° 3．已知，若，则m的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 4．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的距离为（　　） A．2 B．1 C． D． 5．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，0），B（1，0，1），C（1，1，1），则点A到直线BC的距离是（　　） A．1 B．2 C． D．2 6．如图，空间四边形OABC中，，点N在上，且ON＝NA，点M为BC中点，则（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）7．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱CC1的中点，则（　　） A．若F是棱AD的中点，则EF∥平面AB1C B．若EF⊥平面B1D1E，则F是AC上靠近C的四等分点 C．点E到平面B1D1C的距离为 D．若F在棱AB上运动，则点F到直线B1E的距离最小值为 （多选）8．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面，则（　　） A． B． C．异面直线BE与PA夹角的余弦值为 D．点E到平面BAC的距离为1 （多选）9．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F在底面ABCD内运动（含边界）点E是棱CC1的中点，则下列说法正确的是（　　） A．若，且EF∥平面AB1C，则 B．若，则存在λ∈（0，1），使得 C．若EF⊥平面B1D1E，则 D．若，则直线AC1与平面D1DF所成角的正弦值的取值范围是 三．填空题（共4小题） 10．已知，，则　 　 ． 11．如图，若平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2，且2，则，　 　 ，异面直线AB与CC1所成角的大小为　 　 ． 12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，且满足，且x+y+z＝1，则向量的模的最小值是　 　 ． 13．已知上海地处东经120°52′至122°12′，北纬30°40′至31°53′之间，地球半径为6371.004km．则纬线所在两平面的距离是　 　 ．（精确到0.001km） 四．解答题（共2小题） 14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，PA＝AD＝CD＝2AB．E为棱PC上一点，BE⊥PC，平面ABE与棱PD交于点F． （1）求证：F为PD的中点； （2）求证：平面PAD⊥平面PCD； （3）若AB＝1，求二面角B﹣FC﹣P的余弦值． 15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA＝60°，AP＝AC＝AD＝2，E为CD的中点，M在AB上，且． （1）求证：EM∥平面PAD； （2）求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值； （3）求点M到平面PCD的距离． 第3章 空间向量与立体几何 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．在四棱锥P﹣ABCD中，，，，则该四棱锥的高为（　　） A． B． C． D． 【考点】空间中点到平面的距离；棱锥的结构特征． 【专题】转化思想；分析法；空间向量及应用；运算求解． 【答案】D 【分析】求出平面ABCD的一个法向量，利用点到平面距离的向量求法计算可得结果． 【解答】解：设平面ABCD的一个法向量为， 所以，即， 令z＝2，可得x＝1，y＝0； 所以， 则点P到平面ABCD的距离为． 故选：D． 【点评】此题考查用空间向量法求解点到平面距离，属于简单题． 2．已知，，则是（　　） A．30° B．60° C．150° D．120° 【考点】空间向量的夹角与距离求解公式． 【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解． 【答案】C 【分析】利用空间向量的夹角公式求出，结合向量夹角的取值范围可得出的大小． 【解答】解：因为，， 由题意可得， 因为，故． 故选：C． 【点评】本题主要考查了向量的夹角公式的应用，属于基础题． 3．已知，若，则m的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 【考点】空 ... ...