第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二 第1试试题（图片版，含答案）

第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛 高二 第1试试题 一、选择题(每小题4分,共40分.) 1.已知集合M ={m|m2-m-6≤0},N ={n|31-n <9},则M ∩N =( ) (A)[-2,-1). (B)(-1,3]. (C)[-1,3]. (D)[-2,3]. 2.函数y=(sinx)4 的最小正周期是( ) (A)2π. (B) π π. (C) . (D) π 2 4. 3.当x ≥0,y ≥0时,函数f(x,y)=x 2-y2 +y 3-x2 的最大值是( ) (A)2. (B)3. (C)6. (D)23. → , , , , 1 → → 1 → → 1 → 4.已知点A B C P 在同一平面内 且PQ= PA,QR= QB,3 3 RP=3RC ,则 △ABC 与 △PBC 的面积之比是( ) (A)14∶3. (B)19∶4. (C)24∶5. (D)29∶6. 5.Suppose[x]representsthegreatestintegernolargerthanrealnumberx.Thenthe numberoftheintegersolutionstotheequation[3x2+5x]=2is( ) (A)0. (B)1. (C)2. (D)4. ìx ≥0, 6.设不等式组 y ≥0 , í 表示的区域为D.已知对于a≥0,b≥0,当点P(x,y)∈D 时, x y , 3+4 ≤1 ax+by ≤5恒成立,则点(a,b)所形成的平面区域的面积等于( ) (A) 25 . (B) 25 . (C) 25 9 12 16. (D)6. {|lg(( ) -x)|,x <0,7.已知函数f x = 若关于x 的函数y=f2(x)-bf(x)+1有8个x2-6x+4,x >0. 不同的零点,则实数b的取值范围是( ) (A)( 17 2,+∞). (B)[2,+∞). (C)(2, ). (D)(2,174 4]. 8.如图,已知长方体ABCD-A′B′C′D′,P、Q、R 分别是所在棱的三等分点, 平面PQR 将长方体分成两部分,则这两部分体积的比是( ) (A)1∶1. (B)2∶3. (C)1∶2. (D)2∶5. 9.已知t是常数,若方程 x2+y2-2x+1=t|3x-4y|所表示的图形是椭圆,则t的取 值范围是( ) ( )(,1) ()[,1A 0 . B 0 ]. (C)5 5 ( 1 10,5]. (D)[0,5). 10.已知 △ABC,如果适当排列sinA,cosA 和tanA 的顺序,可使它们成为一个等比数列,那么 角A 的大小属于区间( ) ( )( π π π π 3π 3πA 0, () , ( ) , ( ) ,4). B (4 2). C (2 4). D (4 π). 二、A组填空题(每小题4分,共40分.) 11.不等式4x >2x +2的解集是 . 2x -2, x ≤0, 12.已知函数f(x)={ 则 (2015) .f(x-1)-f( f =x-2),x >0. 13.比较e2 和2e 的大小,结果是e2 2e.(填“>”,“<”,或“=”.其中e是自然对数的底) 14.长方体的所有棱与平面α 所成的角均为θ,则cosθ= . 15.若正实数a 与它的整数部分及小数部分构成等差数列,则a= . 16.已知|a|≤1,|b|≤1,|c|≤1,则ab+bc+ca 的取值范围是 . 17.已知m,n ∈N ,且1≤m,n ≤100,则数列{4m +1}与{6n-3}的所有相同项的和为 . 4 18.函数 - x2 -5 y= 的值域是3x .+3 a b 19.若正数a,b满足2a+b=1,则 + 的最小值是2-2a 2 . -b 20.GivenaparabolaC:y2=4x.PointsA(4,4),P,andQareontheparabola.Ifthesum 4 oftheslopesofAPandAQis ,3 thenPQissupposedtopassthroughafixedpointD.The coordinateofDis . (英汉小词典:parabola抛物线;slope斜率;coordinate坐标) 三、B组填空题(每小题8分,共40分.) 21.函数y=sin2x+sinx 的最大值是 ,最小值是 . 22.函数y= x2-6x+8+ 8+6x-x2 的定义域是 ,值域是 . 23.长方体ABCD-A′B′C′D′的各面的中点P,Q,R,X,Y,Z 组成一个 面体,它的 体积与长方体的体积的比值是 . 24.已知{an}是单调递增数列,且有a =4,a21 n+1+a2n +81=18(an+1+an)+2an+1an.则a2= ,an = . x2 x2 25.已知椭圆C: +y2 =1的两焦点是 F1,F2,点 (2 P x0 , )满足0 0y0 < 2 +y 2 0 <1, xx 则|PF1|+|PF2|的取值范围是 ,直线 0 2 +y0y=1 与椭圆C 的交点的个数是 . 高二 第 1 试答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B B B C C A A 题号 11 12 13 14 15 16 答案 (1, ) 3 6 1.5 [-1,3] 2 3 题号 17 18 19 20 , 5 2 22 5 2 22 1 2 答案 6633 9 , 2 2, 1 9 2 3 题号 21 22 1 答案 2； - 3 17，2 4，3+ 17 ； [4，4 2]4 题号 23 24 25 1 答案 八； 25； (3n 1)2 [2, 2 2)；0 6 ... ...