第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二 第2试试题（图片版，含答案）

第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛 高二　第2试试题 一、选择题(每小题4分,共40分.以下每个题目的选择支中,仅有一个是正确的.) 1.已知sinx+cosx=-1,则sin2015x+cos2015x 的值是( ) 2015 (A)-1. (B)0. (C)1. (D)-22 . x y 2.已知x,y ∈R+,x+y=1,M = + , y x 2 2 Nx = , +y x +y x+y2 + 2 则M 与N 的大x +y 小关系是( ) (A)M >N. (B)M 3. → → → → 4.已知点P 是边长为1的正五边形ABCDE 内(含边界)一点,则|PA +PB +PC+PD → +PE|的最大值是( ) ( ) 1 () 1 5A ( ) ( ) 5 2cos36°. B 2sin36°. C 2cos36°. D 2sin36°. 5.已知a∈R+,在区间[-a,a]上随机取数x, 1 使得|x+1|-|x-2|≥0成立的概率是 ,4 那么,a 的值是( ) (A) 1 . (B)1. (C)2. (D)2 3. 6.设[x]表示不超过实数x 的最大整数,如果不等式2x2+ 3[x]+1>k对于所有实数x 都成立,那么,k的最大值是( ) ( )5A () ( ) ( )8. B 1- 3. C 23-1. D 1+ 3. ( ) 2 2 y 2 7.如果二次函数y=f x =ax +x+a 的顶点坐标满足x + ≤1,则a 的最小值是4 ( ) ( ) 17A - . (B) 1 - . ( ) 1 ( )1 2 2 C 2. D 4. 8.f(x)=x3+(3-2a)x2+ax(x∈R)isamonotonicfunction,aisaparameter.Thenthe valuerangeofais( ) (A)[2,3] ()(3, 33 4 . B 4 3). (C)[ ,4 3]. (D)[4,6]. 9.已知椭圆C:3x2+4y2=12和直线l:y=4x+m,若C上存在关于l对称的两个不同的点, 则实数m 的取值范围是( ) ( )( , 2 13 2 13 2 13A -∞ - ). (B)(- ,13 13 13 ). ( )[ 2 13,2 13 2 13 2 13C - 13 13 ]. (D)(-∞,- 13 )∪ ( ,13 +∞). 10.过正方体ABCD-A1B1C1D1 外一点,与直线AC1 和BC 的夹角都是80°的直线的条数是 ( ) (A)1. (B)2. (C)3. (D)4. 二、填空题(每小题4分,共40分.) 11.已知f(2x -1)= 2x-1,则f(x)的定义域是 . 12.满足 2015- 2014 < a - 2001 的最小正整数a 的值是 . (,), (, ), x 2 y2 13.已知点A 20 B 0 2 直线y=kx+b与椭圆 + 有两个交点 、 当四边形4 2 =1 P Q. ABPQ 的面积最大时,b= . π 5 tan8tan8π 14.计算: π 5 = . tan8+tan8π+1 a b 15.已知函数f(x)= 2x-k,若存在两个不同的实数a,b,使f(a)= ,f() ,则实数3 b =3 k的取值范围是 . 16.IntetrahedronABCD,AB =CD = 34,AC =BD = 41,AD =BC =5.Thenthe volumeofthespherecircumscribingofthetetrahedronis . 17.若实数x,y满足 max{2-x,x2-4}≤y≤x+2,则5x-y的取值范围是 . S n 1 a 18.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,T .若 n + n = ,则 2015 T 4n 5 b b = .n + 4+ 12 19.函数y=cos3x-cos2x+cosx 的值域是 . 20.已知f(x)=x2+2a 1-x2 +a2-4a+5,若f(x)的最大值是g(a),则关于a的不等 式log1g(a)+3<0的解集是 .2 三、解答题 每题都要写出推算过程. 21.(本题满分10分) y Non-zerorealnumberx,ysatisfy(x+ x2+12)(y+ y2+3)=6.Findx . 22.(本题满分15分) 已知圆锥的母线长为l,底面半径为r,求此圆锥的内接正n(n≥3)棱柱的体积的最大值,及对 应的n 棱柱的底面多边形的边长. (注:圆锥的内接正n 棱柱是指顶点在圆锥的侧面上或圆锥的底面内的正n 棱柱.) 23.(本题满分15分) x2 y2 已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的两条渐近线的斜率之积为-3,左、右两支上分别有动点a b A 和B. → → (1)若经过点D(0,5a)的直线AB 的斜率为1,且AD=λDB,求实数λ 的值; (2)设点A 关于x 轴的对称点为点M.若直线AB、MB 分别与x 轴交于点P、Q,O 为坐标原 点.证明:|OP|·|OQ|=a2. 高二 第 2 试答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C D B B A C B D 题号 11 12 13 14 15 答案 [ 2 1, ) 2002 2 1 0 k 9 题号 16 17 18 19 20 125 2 2, 41 3, 31 答案 31 4 27 a 2 6或 a 33 y 1 21. . x 2 2 22. ... ...