第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二 第2试试题（图片版，含答案）

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛 高二　第2试试题 一、选择题(每小题4分,共40分.) 1.已知集合P={x|0≤x ≤5,x ∈Z},Q={y|y=|x2-1|,x ∈P},则P ∩Q 中元素 的个数是( ) (A)3. (B)6. (C)8. (D)9. π 1 2.方程log13|x|=sin( - x)的实根的个数是( )2 2 (A)2. (B)4. (C)6. (D)8. 3.命题p:不经过第一象限的图象所对应的函数一定不是幂函数. 2 命题q:函数y=x+ 的单调递增区间是[x - 2 ,0)∪ [2,+∞), 则下列命题中,真命题是( ) (A)p ∧q. (B)(■p)∨q. (C)(■p)∧ (■q). (D)p ∧ (■q). 4.设a,c是正实数,则对于每个实数t,抛物线y=ax2+tx+c的顶点在x O y 平面内组 成的图形是( ) (A)一条直线. (B)一条抛物线. (C)一条抛物线的一部分而不是全部. (D)双曲线的一支. 5.Theminimumvalueofthefunctiony= x2-2x+5+ x2+4is( ) (A)4. (B)32. (C)25. (D) 17. 6.若对于任意实数x,都有t2+5t≤|2x-4|-|x+2|恒成立,则t的取值范围是( ) (A)[1,4]. (B)[-4,-1]. (C)(-∞,1]∪ [4,+∞). (D)(-∞,-4]∪ [-1,+∞). n-1 7.已知数列{ 4 an}的通项公式为an =(9) -(2) n-1 (n∈N ),则数列{an}( )3 (A)有最大项,没有最小项. (B)有最小项,没有最大项. (C)既有最大项又有最小项. (D)既没有最大项也没有最小项. 1 tan2x 2 8.已知函数 -f(x)=( 2 ),则f(x)的最小正周期是( )1+tanx ( ) ()3 ( ) ( )πA 2π. B 2π. C π. D 2. 2 9.双曲线x2 y - =1在点(- 2,2)处的切线的方程是( )2 (A)y=-x+ 2.(B)y=-x+32.(C)y=-2x- 2.(D)y=-2x+32. → → → → 10.已知向量OA =(-2,0),OB =(2,2),BC=(2cosθ,2sinθ)(0≤θ <2π),则向量OA → 与OC 的夹角的取值范围是( ) ( )[7π,11π] ()[7π,11π ( ) 2π,5π ( ) 5π7πA 6 6 . B ,12 12]. C [3 3]. D [4 4]. 二、填空题(每小题4分,共40分.) x 11.函数f(x)=ln 的定义域是x 1 .- 12.三角式 6tan10°+42cos80°的值等于 . 1+a 13.已 知 数 列 {an}中,a1 =2,a n n+1 = .记 数 列 {an}的 前1 a n 项 的 乘 积 为 - ∏ ,nn 则∏2012= . ( 1)2012 114.Howmanypositiverootsdoestheequation x + 2 -x2012 +2x + 2 =0have . 15.不等式cos2θ+22cosθ >1的解集是 . 16.已知向量a,b,c是三个具有公共起点的非零向量,且|a|=2|b|=2,又a·b=-1, 〈 πa-c,b-c〉= ,则当3 |a-c|= 7 时,向量a 与c的夹角是 . x2 +1 17.若数列{xn}满足条件x n 1=3,xn+1= ,则该数列的通项公式2x xn = .n 18.已知点M 是 △ABC所在平面内的一点,且满足MA2+MB2+MC2=4,那么 △ABC三条 边长之积AB·BC·CA 的最大值是 . 19.如图1,正方体ABCD A′B′C′D′中,EE′∥FF′∥BB′,平面AEE′A′ 与平面ABB′A′成15°角,平面AFF′A′与平面ADD′A′成30°角.如果正方体的 棱长为1,那么几何体AEF A′E′F′的体积等于 . 20.已知A,B 是抛物线y2=4x 上的两个动点,且|AB|=3,则当AB 的中 点M 到y 轴的距离最短时,点M 的横坐标是 . 三、解答题 图1 每题都要写出推算过程. 21.(本题满分10分) 解不等式loga(x2+1+x)+loga(x2-2x+10+x-1)≥loga3(a>0且a≠1). 22.(本题满分15分) 已知正三棱锥底面的一个顶点与它所对的侧面的重心的距离为4,求此正三棱锥的体积的最 大值. 23.(本题满分15分) y2 椭圆C:x2+ =1(0≤x≤1,0≤y≤2)在第一象限内的一段弧记为4 AB ,点P(x, y)在弧AB 上,如图2. (1)用t(P)表示椭圆C 在P 点处的切线的单位向量,方向是依椭圆的逆时针走 向.求向量t(P)的解析式; → (2)令函数f(P)=t(P)·OP,写出函数f(P)≡f(x)的解析式; (3)求函数f(P)的最大值及取得最大值时的点P 的坐标,并确定函数f(P)≡ 图2 f(x)的值域. ... ...