5.1导数 复习学案 高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册（pdf版）

第1节 导数的概念与计算 壹 导数与导函数的概念 y y f(xB) B f(xA+Δx) B f(xA) A f(xA) A xA x x xB A xA+Δx x Δy= f(x )- f(x ) Δx=xB-xB A A Δy= f(xA+Δx)- f(xA) Δx (1)一般地，函数 y= f(x)在 x= x0处的瞬时变化率是 Δy = f(x0+Δx)- f(x )lim lim 0 ， Δx→0 Δx Δx→0 Δx 我们称它为函数 y= f(x)在 x= x0处的导数，记作 f′ (x0)或 y |x=x，即0 f′ (x0) = Δy f(x +Δx)- f(x ) lim = lim 0 0 . Δx→0 Δx Δx→0 Δx (2)如果函数 y= f(x)在开区间 (a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在 (a，b)内构成一个新函 数，这个函数称为函数 y= f(x)在开区 (a，b)间内的导函数．记作 f′ (x)或 y′. (3)求函数 y= f(x)在点 x0处的导数的三个步骤 例题分析 例对于函数 f(x) =-x2+ 1.如何求 f′ (x0) -(x +Δx)2+1-(-x2+1) 解 f '(x ) = lim 0 00 = lim(-2x0-Δx) =-2x△ → Δx △ → 0x 0 x 0 f(x -3△x)- f(x ) 例设函数 y= f(x)在 x= x0处可导，且 lim 0 0△x = a，则 f′ (x0) = - 1 3 a .△x→0 ∵ f(x0-3Δx)- f(x )解 lim 0 = f(x0-3Δx)- f(x0)lim ·(-3) =-3f′ (x ) = a，∴ f′ (x ) =- 1 a. △x→0 Δx △ → -3Δx 0 0x 0 3 瞬时变化率的变形形式 f(x +Δx)- f(x ) f(x -Δx)- f(x ) f(x +nΔx)- f(x ) lim 0 0 = lim 0 0 = lim 0 0 Δx→0 Δx Δx→0 -Δx Δx→0 nΔx = f(x0+Δx)- f(x0-Δx)lim = f′ (x )． Δx→0 2Δx 0 1 变式1 f(x) = x2在 x= 1处的导数为 2 = 3 . Δy = f(1+Δx)- f(1) ′ ( ) = f(1+Δx)- f(1) 解： lim lim 解：因为 f 1 lim Δx→0 Δx Δx→0 Δx Δx→0 Δx = 1+2Δx+(Δx) 2-1 a(1+Δx)+3-(a+3) lim = lim (2+Δx) = 2. = lim = a. Δx→0 Δx Δx→0 Δx→0 Δx 又因为 f ′ (1) = 3，所以 a= 3 变式2 已知 f(x) = 2x ，且 f ′ (m) =- 1 2 ，则m的 变式4 一物体做直线运动，其运动方程为 s(t) = 值等于 m=±2 -t2+ 2t，则 t= 0时，其速度为 2 . 2 2 2 ∵ Δy解： = f(m+Δx)- f(m) = m+Δx - m -2 Δs -(t+Δt) +2(t+Δt)-(-t2+2t)= ( + ) ， 解：∵ lim = lim Δx Δx Δx m m Δx Δt→0 Δt Δt→0 Δt ∴ f ′ (m) = lim -2 =- 2 ，∴- 2 =- 1 ，m2= 4， = lim (-2t+ 2-Δt) =-2t+ 2，2 2 Δx→0m(m+Δx) m m 2 Δt→0 解得m=±2. 所以当 t= 0时，其速度为 2. 变式3 设函数 f (x) = ax+ 3，若 f ′ (1) = 3，则 a 贰 导数的计算 一、常见函数的导数 原函数 导函数 y= c y = 0 y= f(x) = xn(n∈Q*) y =nxn-1 y= sinx y = cosx y= cosx y =-sinx y= f(x) = ax y = ax lna(a> 0) y= f(x) = ex y = ex f(x) = logax f (x) = 1 xlna (a> 0且 a≠ 1) f(x) = lnx f (x) = 1x 变式1 求下列函数的导数 (1)y= x5； (2)y= lnx； (3)y= 1x (4)y= sinx； (5)y= ex; (6)y= cosx 答案：(1)y = 5x4 ; (2)y = 1x ; (3)y =- 12 ; (4)y = cosx ; (5)y = ex ; (6)y =-sinx. x 变式2 求下列函数的导数 (1)y= 14 (2)y= 3 x4 (3)y= 3x x (4)y= ( 12 ) x (5)y= log4x (6)y= log 1x 2 1 答案：(1)y =-4x-5 ; (2)y = 4 3 x 1 x 1 1 13 x ; (3)y = 3 ln3 ; (4)y = ( 2 ) ln 2 ; (5)y = ; (6)y =- .xln4 xln2 2 二、导数的计算法则 1.导数的加减运算法则： [ f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x)； 例 求 y= x5+ x3的导数 解 y′ = x5+x3 ′ = x5 ′ + x3 ′ = 5x4+ 3x2. 2.导数的乘法法则：. [ f(x)·g(x)]′= f′(x)g(x)+ f(x)g′(x)； 特别地 [kf(x)]'=kf '(x),(k为常数) 例 求 y= xln x的导数。 解 y' = (xlnx)' = x'lnx+ x(lnx)' = lnx+ x 1x = lnx+ 1 3.导数的除法法则： f(x) ′= f′(x)g(x)- f(x)g′(x) g(x) (g(x)≠0)．[g(x)]2 ex例 求 y= x 的导数。 ex (ex)′x-ex(x)′ ex·x-ex解 y ... ...