中小学教育资源及组卷应用平台 2026北师大版高中数学必修第二册 §4 平面向量基本定理及坐标表示 4.1 平面向量基本定理 基础过关练 题组一 基的概念与判断 1.(多选题)已知{e1,e2}是平面内所有向量的一组基,则下列说法中正确的是( ) A.若存在实数m,n使得me1+ne2=0,则m=n=0 B.平面内任意一个向量a都可以表示成a=me1+ne2,其中m,n为实数 C.对于m,n∈R,me1+ne2不一定在该平面内 D.对于平面内的某一个向量a,存在两对以上的实数m,n,使得a=me1+ne2 2.(多选题)O为 ABCD的对角线AC和BD的交点,下列各组向量中能组成平面ABC内所有向量的一组基的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 3.(2025河南洛阳联考)若{a,b}是平面内所有向量的一组基,则下列也可以构成一组基的是( ) ①a-b和2 025b-2 025a;②a+b和a-b;③3a-2b和2a-3b;④a-3b和6b-2a. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 题组二 用基表示向量 4.(2025浙江宁波鄞州中学测试)在四边形ABCD中,=2,=3,设=a,=b,则=( ) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 5.(2024江西宜春宜丰中学开学考试)如图,在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,连接AE,点F在线段AE上,且AF=2FE,记a=,b=,则=( ) A.a-b B.-a+b C.-a+b D.-a+b 6.(2025江西宜春丰城第九中学段考)已知在△ABC中,=-3,=λ,=μ+,则μ=( ) A. B. C. D.1 7.(2025广东汕头潮阳期中)在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=2AD=2DC,=3,=2,则下列表示正确的是( ) A.=-+ B.=+ C.=- D.=-+ 8.(2025江西景德镇期中)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,∠BAD=60°,E,F分别为AD,DC的中点,BE与AF相交于点O,记=a,=b. (1)以{a,b}为基,写出向量的分解式; (2)若=λ,求实数λ的值. 9.(2024江苏扬州学情调研)在矩形ABCD中,E是DC的中点,F是BC上一点,且=,设=a,=b. (1)在基{a,b}下,分解下列向量:,,; (2)若G为矩形ABCD所在平面内一点,且=a-b,求证:E,G,F三点不能构成三角形. 题组三 平面向量基本定理及其应用 10.(2025广东广州广雅中学阶段性测试)在平行四边形ABCD中,M是边AB上靠近点A的三等分点,DM与AC交于点N,设=a,=b,则=( ) A.-a+b B.-a+b C.-a+b D.-a+b 11.(2025四川绵阳南山中学月考)已知△ABC中,D是AC的中点,H在线段BD上,且=x+y,则x2+y2的最大值为( ) A. B. C.1 D.2 12.(2024江西抚州学业质量监测)如图,在△ABC中,D,E分别为BC,BA的三等分点,且点D靠近点B,点E靠近点A,AD交CE于点P,设=a,=b,则=( ) A.-a+b B.a+b C.a+b D.a+b 13.(2025河南驻马店高级中学月考)如图,平面内有三个向量,,.,的夹角为120°,,的夹角为150°,||=||=1,||=3,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=( ) A. B.-9 C.- D.9 14.在△ABC中,=,=,若=x+y(x,y均大于0),则的值为 . 15.(2025新疆乌鲁木齐八一中学期中)如图,A,B,P是圆O上的三点,OP的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点Q,若=a+b(a,b∈R),求a+b的取值范围. 能力提升练 题组一 用基表示向量 1.(2025浙江宁波三锋教研联盟期中联考)如图,在△ABC中,已知=,=2,P是线段AD与BE的交点,若=m+n,则m+n的值为( ) A. B. C.1 D. 2.(多选题)(2025重庆万州第三中学等多校期中联考)“赵爽弦图”是中国古代数学的经典成果,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图,某人仿照“赵爽弦图”,用四个三角形和一个小的平行四边形拼成了一个大的平行四边形,其中E,F,G,H分别是线段DF,AG,BH,CE上靠近D,A,B,C的三等分点,则( ) A.=+ B.=+ C.=- D.=- 3.如图所示的多边形是由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合加工而成的.已知向量n,k,则向量a=( ) A.2n+3k B.(2+)n+3k C.(2+)n+(2+)k D.(1+)n+(2+)k 4.(202 ... ...
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