中小学教育资源及组卷应用平台 2026北师大版高中数学必修第二册 5.2 向量数量积的坐标表示 5.3 利用数量积计算长度与角度 基础过关练 题组一 向量数量积的坐标表示 1.(2025湖南娄底教学质量检测)若向量a=(,1),b=(-1,),则a·(a-b)=( ) A.3 B.2 C.-3 D.-2 2.(2025江西上饶高考模拟)已知向量a=(0,1),a+b=(1,x),若a⊥b,则x=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.(2025湖南三湘名校联盟期中)已知平面内四点A(-1,2),B(1,1),C(2,1),D(3,4),则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 4.(2025福建厦门二中期中)已知过点A(1,1)的直线l的方向向量为m=(1,2),则原点O到直线l的距离为( ) A. B. C. D. 5.(2025江西新余第四中学模拟)已知在正方形ABCD中,AB=2,M为BC的中点,N为正方形ABCD内部或边界上一点,则·的最大值为( ) A.1 B. C. D.2 6.(2024江西宜春丰城第九中学期末)在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=,AB=3,CD=1,若k-与垂直,则k= ;若P为AB边上的动点(不包括端点),则(+)·的最小值为 . 题组二 向量长度的计算 7.(2025江西多校联考)已知向量a=(1,m-4),b=(4,2),若|a+b|=|a-b|,则|a|=( ) A.5 B.3 C. D. 8.(2025四川达州测试)已知向量a=(1,2),b=(k,-1),若a⊥(a+b),则|2a+b|=( ) A. B. C.5 D. 9.(2024江西南昌二中月考)已知向量a=(2,0),b=,若向量b在向量a方向上的投影向量为c=,则|a+b|=( ) A. B. C.3 D.7 10.(2024陕西咸阳实验中学月考)已知平面向量a,b,|a|=2,当|a-tb|最小时,t|b|=,则a与b的夹角为( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 题组三 向量夹角的计算 11.(2025湖南邵阳邵东第三中学期中)已知向量a=(1,1),b=(x,-5),则“x<5”是“a与b的夹角为钝角”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.(2025四川绵阳中学测试)设λ为实数,已知向量m=(2,1-λ),n=(2,1).若m⊥n,则向量m-n与n的夹角的余弦值为 . 13.(2025江西赣州重点中学联考)已知两个非零向量a,b满足a⊥(a-2b),且=,则向量a,b的夹角为 . 能力提升练 题组一 向量长度与夹角的计算 1.(2025安徽蚌埠适应性考试)在四边形ABCD中,2=3,=(1,),=(,-1),则该四边形的面积为( ) A.4 B.2 C. D. 2.(2025河南洛阳强基联盟联考)已知P是菱形ABCD所在平面内的一点,若菱形的边长为定值,且(+)·(+)的最小值为-9,则该菱形的边长为( ) A. B. C.2 D.3 3.(多选题)(2025安徽安庆第一中学期中)已知向量a,b的夹角为,|a|=2,|b|=1,t∈R,则( ) A.a在b方向上的投影数量为1 B.a+b在a方向上的投影数量为 C.|ta+b|的最小值为 D.|ta+b|取得最小值时,a⊥(ta+b) 4.(多选题)(2024辽宁七校协作体期中)已知向量a=(1,2),b= (-3,4),c=a+λb,λ∈R,则下列说法正确的是( ) A.当λ=-时,|c|最小 B.当|c|最小时,b⊥c C.当λ=1时,a与c的夹角最小 D.当a与c的夹角最小时,a=c 5.(2024四川成都树德中学期中)已知平面向量a,b,c满足|a|=1,2a+b=0,2|c-a|=|c-b|,则c-b与a夹角的最大值为 . 6.(2024湖南师范大学附属中学月考)在△OAB中,·=0,||=2,||=4,E点满足=t(t∈R),D为OB的中点. (1)当t=时,求直线AD与OE相交所成的较小的角的余弦值; (2)求|-|的最小值及相应的t的值. 题组二 向量数量积坐标表示的综合应用 7.(2025江苏无锡江阴第一中学阶段检测)已知半径为2的☉O内有一条长度等于半径的弦AB,若☉O内部(不含圆周)有一动点P,则+·的取值范围为( ) A.(2,4) B.(1,4) C.(-2,6) D.(-1,6) 8.(2024山西部分学校联考)美术课对于陶冶人的情操、发展学生的艺术兴趣和爱好、培养学生的艺术特长、提高学生的审美素养具有 ... ...
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