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课件网) 第七章 随机变量及其分布 7.5 正态分布 图解课标要点 教材帮 新知课丨必备知识解读 知识点1 正态曲线与正态分布 1 连续型随机变量 现实中，有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区 间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量. （有无数个值，不能一一列举） . . 2 正态曲线与正态分布的概念 图7.5-1 （1）我们称, （其中, 为参数）为正态密度函数，称 它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，其图 象如图7.5-1所示. （2）若随机变量 的概率分布密度函数为 ，则称随机变量 服从正态分布，记为 ，（【易错】注意此处为，而不是） ）. （3）若，则 ， . . . 3 正态曲线的特点 由 的密度函数及图象可以发现，正态曲线有以下特点： （1）曲线是单峰的，它关于直线 对称.,有 （2）曲线在 处达到峰值 .（可由复合函数的单调性求得） （3）当无限增大时，曲线无限接近 轴. （4）曲线位于轴上方，与轴不相交；，恒成立曲线与 轴 之间的区域的面积为1. . . . . . . . . . . 知识剖析 参数 和 对正态曲线的形状的 影响 1. 为位置参数. 当参数 取固定值时，正态曲线的位 2. 为形状参数. 参数 的大小决定了曲线的高低和胖瘦，因此 的变化影响曲线的形状. 越小， 曲线越“瘦高”，表示随机变量的分布越集中； 越大，曲线越“矮胖”，表示随机变量 的分布越分散，如图7.5-3.（参数 反映了随机变量的分布相对于均值 的离散程度） 置由 确定，且随着 的变化而沿轴平移，如图7.5-2.（参数 反映了正态分布的 集中位置） 学思用·典例详解 例1-1 根据下列正态密度函数的表达式，找出其均值和方差. （1）， ； 【解析】将正态密度函数与对照得 , ，所以其均值为0，方差为1. （2）， . 【解析】将正态密度函数与 对照得 , ，所以其均值为1，方差为2. 图7.5-7 例1-2 如图7.5-7所示是一个正态曲线，试根据该 图象写出正态密度函数的解析式． 【解析】由题图可知该正态曲线关于直线 对称，最大值是，所以 ，（随机变量的 均值） 由，得 ，（随机变量的标准差） 所以该正态密度函数的解析式为 ， . 图7.5-8 例1-3 (2025·山东省齐鲁名校联考)已知三条正态曲线 如图7.5-8 所示，则下列 判断正确的是( ) D A.， B.， C.， D.， 【解析】由正态曲线关于直线 对称，知 的大小决定曲线的形 状， 越大，曲线越“矮胖”； 越小，曲线越“瘦高”，则 . （也可由，得,即 ） 知识点2 正态分布的几何意义及 原则 1 正态分布的几何意义 对任意的，正态曲线与轴之间的区域的面积总为1.若 ，如图 7.5-4所示，取值不超过的概率为图中区域的面积，而 为 区域 的面积. 图7.5-4 2 三个常用的概率值 假设，可以证明：对给定的, 是一个 只与 有关的定值.特别地， ， ， . 上述结果可用图7.5-5表示. 图7.5-5 3 原则 尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中， 的取值几乎总是落 在区间内,而在此区间以外取值的概率大约只有 ，通常认为这 种情况几乎不可能发生.（这样的事件可看成小概率事件） 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量 只取 中的值，这在统计学中称为 原则. 学思用·典例详解 例2-4 [多选题](2025·山西省朔州市期中)随机变量服从正态分布 ,则下列结 论正确的是( ) ACD A. B. C. D. 【解析】由随机变量服从正态分布 ,得正态曲线的对称轴为直线 ，则 ,故A正确;标准差为5,方差为25，故B错误; 由正态曲线的对称性得, ，故C，D正确. 图7.5-9 例2-5 [教材改编P87习题7.5 T2]为了解某地高中男生的身体发育 状况，随机抽取1 000名男生测量他们的体重，测量的结果表明他 们的体重（单位：）服从正态分布 ，正态曲线如图7.5 -9所示.若 ... ...
