7.2.3 三角函数的诱导公式(二) 必备知识·自主导学 【问题导学】 1.角-α与角α的终边有什么样的位置关系 2.从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六,有什么变化规律 3.用诱导公式化简求值的方法是什么 4.常见的角的变化技巧有哪些 【教材认知】 (1)诱导公式五、六 项目 公式五 公式六 终边关系 角-α与角α的终边关于直线y=x对称 角+α与角α的终边垂直 图形 公式 sin(-α)=cos α, cos(-α)=sin α sin(+α)=cos α, cos(+α)=-sin α (2)本质:单位圆中,终边关于y=x对称,互相垂直的角的三角函数之间的关系. (3)应用:与诱导公式一~四结合用于三角函数式求值、化简、证明. 【教材提炼】 1.sin (-α)=-cos α,cos (-α)=-sin α, sin (+α)=-cos α,cos (+α)=sin α. 2.观察互余、互补关系:-α与+α,+α与-α,-α与+α等互余,+θ与-θ,+θ与-θ等互补,遇到此类问题,不妨考虑两个角的和,要善于利用角的变换来解决问题. 关键能力·师生共研 题型一 利用诱导公式求值 【典例1】(类题·节节高) (1)已知cos (π+α)=-,α为第一象限角,求cos (+α)的值. 【解析】因为cos (π+α)=-,所以cos α=,又因为α为第一象限角,所以cos (+α)=-sin α=-=-=-. (2)已知sin (-α)=,求cos (+α)的值. 【解析】cos (+α)=cos [-(-α) ] =sin (-α)=. (3)已知cos (-β)=,求cos (+β)·sin (-β)的值. 【解析】因为cos (-β)=, 所以cos (+β)·sin (-β)=cos[π-(-β) ]·sin [+(-β) ] =-cos (-β)·cos (-β)=-=-. 【总结升华】 解决化简求值问题的策略 (1)能直接用诱导公式化简的直接化简后再设法求值. (2)不能直接用诱导公式化简的要观察角的关系,观察时要将角看成整体,观察它们的和、差关系,是否具有互补、互余等特殊关系,再利用诱导公式转化求值. 【即学即练】 (2025·衡水中学高一月考)已知cos(α-)=,α∈(,π),则cos(α+)= ( ) A.- B. C.- D. 【解析】选A.因为cos(α-)=,α∈(,π),所以0<α-<,所以sin(α-)==, 所以cos(α+)=cos[(α-)+]=-sin(α-)=-. 题型二 利用诱导公式化简与证明 【典例2】(1)求证:=. 【证明】左边===, 右边=====,所以等式成立. (2)化简: . 【解析】原式===-cos α. 【总结升华】 三角式化简与证明的策略 (1)遵循的原则:在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一,应遵循化繁为简的原则. (2)常用的方法:定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法. 【即学即练】 (2025·盐城中学高一月考)已知f(α)=.化简f(α)= ( ) A.-cos α B.cos α C.-sin α B.sin α 【解析】选A.f(α) = ==-cos α. 题型三诱导公式在三角形中的应用 【典例3】已知A,B,C为△ABC的内角. (1)求证:cos2+cos2=1; (2)若cos (+A)sin (+B)tan (C-π)<0,求证:△ABC为钝角三角形. 【证明】(1)因为在△ABC中,A+B=π-C, 所以=-, 所以cos =cos (-)=sin , 所以cos2+cos2=sin2+cos2=1,所以原等式成立. (2)因为cos (+A)sin (+B)tan (C-π)<0, 所以-sin A·(-cos B)·tan C<0, 即sin Acos Btan C<0. 又因为A,B,C∈(0,π),所以sin A>0, 所以cos Btan C<0, 即cos B<0,tan C>0或tan C<0,cos B>0, 所以B为钝角或C为钝角, 所以△ABC为钝角三角形. 【总结升华】 三角形中的公式 (1)sin (A+B)=sin C,sin (A+C)=sin B,sin (B+C)=sin A; (2)cos (A+B)=-cos C,cos (A+C)=-cos B,cos (B+C)=-cos A; (3)tan (A+B)=-tan C,tan (A+C)=-tan B,tan (B+C)=-tan A; (4)sin =cos ;sin =cos ,sin =cos ; (5)cos =sin ,cos =sin ,cos =sin . 【即学即练】 已知A,B,C为△ABC的三个内角,求证:sin (+)=cos (-). 【证明】在△ABC中,A+B+C=π, 则=. 所以cos (-)=cos (-) =cos (--) =cos [-(+)] =sin (+), 故原等式得证.(
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