第3课时 指数函数及其性质的应用(二) 关键能力·师生共研 题型一 指数函数的综合应用 角度1 指数函数与二次函数综合 【典例1】(2025·徐州一中高一质检)已知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象过点(3,8). (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数g(x)=f2(x)-2f(x)+5在x∈[-1,2]上的值域. 【解析】(1)因为函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象过点(3,8),则f(3)=a3=8, 解得a=2,因此,f(x)=2x. (2)g(x)=-2×2x+5,令t=2x, 因为x∈[-1,2],则t∈[,4], 令h(t)=t2-2t+5=(t-1)2+4,当t∈[,1]时,函数h(t)单调递减,此时,x∈[-1,0], 当t∈(1,4]时,函数h(t)单调递增,此时,x∈(0,2], 故当x∈[-1,2]时,g(x)min=g(0)=4, 又因为g(-1)=(-1)2+4=,g(2)=(4-1)2+4=13,故g(x)max=13, 所以函数g(x)在[-1,2]上的值域为[4,13]. 角度2 指数函数与单调性奇偶性综合 【典例2】(2025·宁波中学高一质检)已知函数f(x)=(a>0,a≠1)是定义在R上的奇函数. (1)求实数a的值; (2)判断f(x)在定义域上的单调性,并用单调性定义证明; (3) x∈[1,2],使得t·f(x)≥2x-2成立,求实数t的取值范围. 【思路导引】(1)利用奇函数在原点上有定义,则f(0)=0即可求解. (2)根据单调性定义即可证明. (3)先将不等式t·f(x)≥2x-2化为t≥(2x-1)-+1,再利用换元法结合函数单调性求出(2x-1)-+1的最小值即可求解. 【解析】(1)因为f(x)=(a>0,a≠1),x∈R,定义域关于原点对称,令x=0,所以f(0)==0,故a=2. (2)f(x)=是R上的增函数. 证明:任取x1,x2∈R,且x10,+1>0,0<<, 所以-<0,(+1)(+1)>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)4; (2)若函数y=f(x)+f(-x)的最小值为-4,求m的值. 【解析】(1)当m=-3时,由f(x)=4x-3×2x>4得,4x-3×2x-4>0,(2x+1)(2x-4)>0, 因为2x+1>0,所以2x-4>0,解得x>2, 所以原不等式的解集为(2,+∞). (2)因为y=f(x)+f(-x)=(4x+4-x)+m· (2x+2-x)=+m·(2x+2-x)-2, 令t=2x+2-x,因为2x>0,2-x>0, 所以t=2x+2-x≥2=2, 当且仅当x=0时取得等号, 则y=g(t)=t2+m·t-2=--2,t≥2, ①当-≤2,即m≥-4时,g(t)在[2,+∞)上单调递增, 当t=2,即x=0时,ymin=2m+2, 所以2m+2=-4,解得m=-3,符合题意; ②当->2,即m<-4时, g(t)在[2,-]上单调递减,在[-,+∞)上单调递增,当t=-时,ymin=--2, 所以--2=-4,解得m=±2,不符合题意,舍去. 综上,m的值为-3. 2.设a∈R,函数f(x)=. (1)求a的值,使得y=f(x)为奇函数; (2)若f(2)=a,求满足f(x)>a的实数x的取值范围. 【解析】(1)由f(x)为奇函数,可知f(-1)=-f(1), 即-(1+2a)=-(2+a),解得a=1, 当a=1时,f(x)=,f(-x)===-f(x)对一切非零实数x恒成立,故当a=1时,y=f(x)为奇函数. (2)由f(2)=a,可得=a,解得a=2, 所以f(x)>a >2 <0 1<2x<4, 解得0a的实数x的取值范围是(0,2). 题型二 指数函数的实际应用 【典例3】某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态,经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位,1 ppm表示百万分之一),再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知,该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟) ... ...
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