5.5.1.1 两角和与差的正弦函数、余弦函数 教学设计

两角和与差的正弦函数、余弦函数 教学设计 【教材分析】 两角和与差的三角函数公式，证法很多，更多的是利用单位圆与解析法，这两种证法突出了公式的几何背景，便于学生理解和掌握。教科书是采用向量的数量积的方法来推证两角差的余弦定了，这样做使得公式的证明过程更简捷，又因为用向量方法推导公式C安排在第四章中，使教科书从第二章平面向量到第四章三角恒等变形的过程更自然，可以使学生感受到知识之间的联系、向量的数学价值，同时也能从向量的角度，体会公式的几何背景。 公式C是其他公式的基础，是本章公式推导体系的“源”。在这里，证明的结果，得到公式达到目的固然重要，但是相比之下，应该更加着重的是推证公式的过程，看重过程中所体现的思想方法。对于其他公式，教科书没有给出推导过程，而是提出问题同时给出提示的方法来呈现，在教师的组织下，由学生探索完成公式的推证，是完全可能的。 【学情分析】 两角差的余弦公式的探索与证明是本节的难点，在推证之前教材做了大量的引导工作，并利用向量工具进行推证，大大降低里思维难度，学生容易接受只是注意辨析各公式的结构特征和内在联系。 【教学目标】 1掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，进而推导出两角和与差的其他三角公式，使学生初步理解公式的结构及其功能，并能进行简单的应用。 2探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题。 【教学重点】 两角差的余弦公式的推导。 【教学难点】 两角和与差的正、余弦公式的灵活应用。 【教学过程】 一、问题情境 对于一些特殊的角，如，，等，大家都知道这些角的三角函数值，但是有一些角，如，，等，这些角虽然不是特殊角，但是可以写成两个特殊的角的和或者差，我们怎样求这些角的三角函数值呢？比如： 求cos15=＿＿＿,cos75=＿＿＿。 （提示：15=45+30，75=45+30） 思考：已知角，的正余弦函数值，如何求-，+的正余弦函数值？ 下面我们就一起来探讨两个角差的余弦函数公式cos(-)。 二、新知探究 两角差余弦公式的推导 已知0<<<，则角的终边与单位圆的交点P1的坐标为＿＿＿＿,向量的坐标为＿＿＿＿；角的终边与单位圆的交点p2的坐标为＿＿＿＿, 向量的坐标为＿＿＿＿，向量与向量的夹角为＿＿＿＿,根据： 平面向量的数量积公式 ·=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 平面向量的数量积的坐标表示公式 ·=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 求cos(-)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 cos(-)=（常记作C） 说明：当角，为任意角时，此公式亦然成立。 注意公式的特征： 公式的左边是两个角差的余弦值，公式的右边是两个单角余弦值之积与正弦值之积的和。 应用：求cos15=＿＿＿。 三、合作探究 1. 两角和余弦公式的推导 请同学们试根据cos(-)，求： cos(+)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 (提示：cos(+)=cos[-(-)]) （要求一学生上黑板完成） cos(+)=（常记作C） （1）注意公式的特征： 公式的左边是两个角和的余弦值，公式的右边是两个单角余弦值之积与正弦值之积的差。 （2）比较公式C，C说说两角和与差余弦函数公式的特点： “余余正正符号异” 2.两个角和与差的正弦函数公式的推导 下面请同学们思考一下两个角和与差的正弦函数公式是怎样的呢？ 提示：在第一章中我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，怎样使用它们解决我们今天的问题？ 让同学们先分组讨论，然后动手完成公式的推导。 sin(-)=。（常记作S） （提示：sin(-)=cos[-(-)]） sin(+)=。（常记作S） 注意公式的特征： 公式的左边是两个角和（或差）的正弦函数值，公式的右边是两个单角正余弦值之积与余正弦值之积的和（或差）。简记： “正余余正符号同” ※学习两角 ... ...