福建省福州第一中学2025届高三上学期期末考试数学试卷（含解析）

福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期第二学段期末考试数学试题 一、单选题 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数，则的虚部是（ ） A． B． C． D． 3．已知，若，则（ ） A． B． C． D． 4．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，落地时朝上的点数之和为6的概率为（ ） A． B． C． D． 5．设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数，若在上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．过直线上一点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 8．已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则（ ） A．在区间单调递增 B．在区间有两个极值点 C．的图象关于点中心对称 D．直线是函数的切线 10．下列图象中，能成为函数的图象的是（ ） A． B． C． D． 11．已知正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为分别是中点，过点的截面将四棱锥的体积平分，则下列结论正确的是（ ） A．直线平面 B．直线与直线异面 C．正四棱锥外接球表面积为 D．截面不可能为等边三角形 三、填空题 12．设为抛物线的焦点，若上的点到焦点距离为3，则的准线方程为 . 13．如图，在中，，P为CD上一点，且满足，则m的值为 ． 14．在n维空间中（，），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中.则5维“立方体”的顶点个数是 ；定义：在n维空间中两点与的曼哈顿距离为.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 四、解答题 15．如图，直三棱柱内接于高为2的圆柱中，已知，，为的中点. (1)求圆柱的表面积； (2)求二面角的余弦值； (3)求到平面的距离. 16．平面四边形中，， (1)求的值； (2)和面积分别为和，求的最大值. 17．已知函数. (1)当时，判断函数的零点个数； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)设，若函数有两个极值点、，求证：. 18．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为. (1)求的标准方程； (2)我们把各边与椭圆的对称轴垂直或平行的内接四边形叫做椭圆的内接矩形，设四边形是椭圆的一个内接矩形，求矩形的周长的最大值； (3)过点的动直线与椭圆交于两点（不与椭圆的顶点重合）.点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求面积的最大值. 19．如果数列，，，…，（）是首项为1，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被3整除，那么称数列，，，…，是数列. (1)写出所有满足的数列； (2)证明：存在数列是等比数列，且有无穷个； (3)对任意给定的，都存在，，，使得数列，，，，是数列，求整数t的最小值. 参考答案 1．B 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2．C 【详解】， 的虚部是 故选：C 3．B 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以，即， 解得. 故选：B. 4．A 【详解】由题意可知，将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，落地时朝上的点数的情况为： ， ， ， ， ， ，共36种， 满足题意的点数为： ，共 种可能， 由古典概型的计算公式可知，落地时朝上的点数之和为 的概率为 . 故选：A. 5．A 【详解】若是等差数列，设公差为, 则， 则， 所以是等差数列； 若是等差数列，设公差为, 则， 即的奇数项是等差数列，偶数项是等差数列， 则不一定是等差数列， 所以“是等差数列”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 6．C 【详解】解：， 因为在上单调递增， 所以在上恒成立， 则， 解得， 故选：C 7．B 【详解】由圆的圆心为， 由图知，当直线关于直线对称 ... ...