专题强化练7 空间角和距离--2026湘教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2026湘教版高中数学必修第二册 专题强化练7　空间角和距离 1.如图所示,三棱锥P-ABC的底面ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,且PA=PB=AB=,PC=,则点C到平面PAB的距离等于(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(2025上海静安期中)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD内(包括边界)的动点,满足直线D1P与CC1所成角的大小为,则线段DP扫过的面积为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.(多选题)(2025湖北新高考联考协作体开学考)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P在线段C1D1上运动,则下列选项中正确的是　(　　) A.AP的长的最小值为 B.平面BB1P⊥平面A1B1C1D1 C.若P是C1D1的中点,则二面角P-BB1-C1的余弦值为 D.若D1P=,则直线B1P与BD1所成角的余弦值为 4.如图,边长为2的等边△ABC和直角△ABC1所在的半平面构成60°的二面角,当∠AC1B=90°,∠C1AB=30°时,线段CC1的长度为　　　　. 5.(2024甘肃临夏期末)如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直于底面,AB=5,AA1=AC=3,BC=4,P,D分别为AB,C1B的中点. (1)求证:PD∥平面ACC1A1; (2)求证:BC⊥PD; (3)求点C到平面PBC1的距离. 6.(2025山东泰安第一中学期中)如图,已知三棱台ABC-A1B1C1中,平面ABB1A1⊥平面BCC1B1,△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形,且AB=2AA1=2A1B1=2BB1=2. (1)证明:AB1⊥平面BB1C1C; (2)求直线AB1与平面ABC所成角的大小; (3)在线段CC1上是否存在点F,使得二面角F-AB-C的大小为 若存在,求出线段CF的长;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 专题强化练7　空间角和距离 1.C 2.A 3.ABC 1.C　取AB的中点G,连接PG,CG,作CH⊥PG,垂足为H,如图所示, ∵PA=PB=AB=, ∴△PAB为等边三角形. ∵G为AB的中点, ∴PG⊥AB, ∵△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°, ∴CG⊥AB, 又PG∩CG=G,PG,CG 平面PCG, ∴AB⊥平面PCG, 又CH 平面PCG,∴AB⊥CH. 又CH⊥PG,PG∩AB=G,PG,AB 平面PAB, ∴CH⊥平面PAB, 即CH的长就是点C到平面PAB的距离. 在等边三角形PAB中,PG=×=, 在Rt△ABC中,CG==, 在△PCG中,由余弦定理可得 cos∠PGC= ==-, ∴sin∠PGC===, 在Rt△CHG中,CH=CG·sin(π-∠PGC)=×=,∴点C到平面PAB的距离为. 2.A　因为DD1∥CC1,所以直线D1P与CC1所成的角即为DD1与D1P所成的角, 易知DD1⊥PD,所以DD1与D1P所成的角为∠DD1P,即∠DD1P=,故tan∠DD1P==,即DP=, 所以点P的轨迹是以D为圆心,为半径的圆的四分之一, 故线段DP扫过的面积为π×=. 3.ABC　对于A,如图,连接AD1,AP, 由正方体的性质得C1D1⊥平面ADD1A1, 又AD1 平面ADD1A1,所以C1D1⊥AD1, 又点P在线段C1D1上运动, 所以AP≥AD1=(当点P与点D1重合时取“=”),故A正确. 对于B,由正方体的性质得BB1⊥平面A1B1C1D1,又BB1 平面BB1P,所以平面BB1P⊥平面A1B1C1D1,故B正确. 对于C,当P为线段C1D1的中点时, 易知BB1⊥PB1,BB1⊥C1B1,所以∠PB1C1即为二面角P-BB1-C1的平面角. 在△PB1C1中,PC1=,B1C1=1,PC1⊥B1C1,所以PB1=,所以cos∠PB1C1===,故C正确. 对于D,如图, 在A1B1上取点M,使MB1=,连接MB,MD1,则MD1∥B1P, 所以∠MD1B(或其补角)即为异面直线B1P与BD1所成的角. 在△MD1B中,MD1===,BD1==,BM==, 由余弦定理可得cos∠MD1B===,故D错误. 4.答案　 解析　如图①,过C1分别作C1D⊥AB于D,C1O⊥平面ABC于O,连接DO, ∵AB 平面ABC,∴C1O⊥AB, 又C1O∩C1D=C1,C1O,C1D 平面C1DO, ∴AB⊥平面C1DO,又DO 平面C1DO,∴AB⊥DO, ∴∠C1DO为等边△ABC和直角△ABC1所在半平面构成的二面角,即∠C1DO=60°, 又∠AC1B=90°,∠C1AB=30°, ∴C1B=AB·sin 30°=1,C1D=C1B·sin 60°=,C1O=C1D·sin 60°=,DO=C1D·cos 60°=, BD=C1B·cos 60°=, 画出底面△ABC如图②,分析可知: CO===, ∴CC1===. 　　 5.解析　(1)证明:连接AC1,在△ABC1中,D,P分别是BC1,AB的中 ... ...