中小学教育资源及组卷应用平台 2026湘教版高中数学必修第二册 1.5 向量的数量积 1.5.1 数量积的定义及计算 基础过关练 题组一 向量数量积的运算及运算律 1.下列说法错误的是( ) A.对于任意向量a,有0·a=0 B.若a·b=0,则a=0或b=0 C.对于任意向量a·b,有|a·b|≤|a||b| D.若a,b共线,则a·b=±|a||b| 2.(多选题)(2025甘肃天水第一中学月考)关于平面向量a,b,c,下列说法正确的是( ) A.(a-b)·(a+b)=a2-b2 B.(a+b)·c=a·c+b·c C.若a·b=a·c,且a≠0,则b=c D.(a·b)·c=a·(b·c) 3.(2025四川凉山民族中学月考)已知两个单位向量e1,e2的夹角为120°,则e1·(2e1+3e2)=( ) A. B.1 C. D. 4.如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°,点D,E分别在边AB,AC上,且=2,=5. (1)若F为DE的中点,用向量和表示; (2)在(1)的条件下,求·的值. 题组二 投影 5.已知|a|=8,e为单位向量,当它们的夹角为时,a在e方向上的投影长为( ) A.4 B.4 C.4 D.8+ 6.(2025甘肃张掖民乐第一中学月考)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为,则b在a方向上的投影向量为( ) A.- B.a C.-a D.-a 7.(2025甘肃定西岷县第一中学月考)已知两个单位向量a与b的夹角为60°,则向量a-b在向量a方向上的投影为 . 8.已知a·b=16,若向量a在b方向上的投影向量为4b,则|b|= . 题组三 利用数量积求向量的模 9.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|=( ) A.2 B.4 C.6 D.12 10.(2025陕西西安第一中学月考)若平面向量a,b,c两两的夹角为120°,且|a|=|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|= . 题组四 利用数量积求向量的夹角 11.(2025天津咸水沽第一中学月考)若a与a+2b的数量积为6,|a|=2,|b|=1,则
=( ) A. B. C. D. 12.(多选题)已知e1,e2是两个单位向量,λ∈R时,|e1+λe2|的最小值为,则下列结论正确的是( ) A.e1,e2的夹角可能是 B.e1,e2的夹角可能是 C.|e1+e2|=1或 D.|e1+e2|=1或 13.(2025河北沧州段考)已知向量a,b满足|b|=1,且(a+2b)·(a-2b)=2,a·(a-b)=4. (1)求向量a与2a-b的夹角θ的余弦值; (2)若向量a-3tb与ta-3b的夹角为锐角,求实数t的取值范围. 题组五 向量的垂直 14.已知向量a,b满足|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120°,若(ka-2b)⊥(a+b),则实数k=( ) A. B. C.1 D.2 15.已知O,A,B,C,D在同一平面内,|OA|=|OB|=|OC|=|OD|=1,且·=0,则|+|的最大值为( ) A.2 B.2+ C.1+ D.4 16.若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,a⊥(a+λb),则λ= . 17.已知向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是 . 18.(2025四川内江第一中学月考)已知O为坐标原点,e1,e2是两个夹角为60°的单位向量,=2e1+e2,=-3e1+2e2. (1)求||; (2)求与的夹角; (3)设=te1,若△ABC是以AC为斜边的直角三角形,求实数t的值. 能力提升练 题组一 向量数量积的运算及其运算律 1.(2025辽宁大连滨城高中联盟期中)已知△ABC中,AB=3,AC=4,·=6,O为△ABC所在平面内一点,且+2+3=0,则·的值为( ) A.-4 B.-1 C.1 D.4 2.(创新题)(新情境·以化学分子结构式为背景考查向量数量积的运算)(2025陕西十七校期中联考)C60是一种由60个碳原子构成的分子,形似足球,又名足球烯,其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成.如图,将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平,若正多边形的边长为1,A,B,C为正多边形的顶点,则·=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题组二 向量的夹角和模 3.(2025安徽庐巢联盟期中)已知向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=2,|c|=1,则cos=( ) A.- B. C. D.- 4.(2025湖北武汉华师一附中月考)已知a,b是两个不共线的向量,且a·b的最小值为4,若对 ... ... 
