3.4 复数的三角表示--2026湘教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2026湘教版高中数学必修第二册 *3.4　复数的三角表示 基础过关练 题组一　复数的三角表示 1.(2025湖南衡阳一中期末)复数z=-3-i的辐角主值为(　　) A.　　B.-　　C.　　D. 2.把下列复数表示为代数形式. (1)z1=3; (2)z2=; (3)z3=2. 3.将下列复数化为三角形式. (1)-1-i; (2)ai(a<0); (3)-(sin θ-icos θ). 题组二　复数三角形式的乘除运算 4.(多选题)(2025江苏盐城射阳中学月考)任何一个复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)都可以表示成z=r(cos θ+isin θ)(r≥0,θ∈R)的形式,则下列说法正确的有(　　) A.复数z=1-i的三角形式为z=2 B.当r=1,θ=时,z+z2+z3+…+z2 024=0 C.当r=2,θ=时,z3=-8 D.当r=3,θ=时,“n为偶数”是“zn为纯虚数”的充分不必要条件 5.计算: (1)8×4; (2)(cos 225°+isin 225°)÷[(cos 150°+isin 150°)]; (3)4÷. 题组三　复数三角形式乘、除运算的几何意义 6.设n是正整数,分别记方程xn=1,(x-1)6=1的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为A与B,O为坐标原点.若存在Z1∈A,当Z2取遍集合B中的元素时,所得·的不同取值有5个,则n的值可以是(　　) A.6　　B.5　　C.4　　D.3 7.已知i为虚数单位,复数z1=1+i,在复平面中将z1绕着原点逆时针旋转165°得到z2,则z2=　　　　. 8.在复平面内,把复数3-i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转,求所得向量对应的复数. 答案与分层梯度式解析 *3.4　复数的三角表示 基础过关练 1.A 4.BC 6.B 1.A　z=-3-i=2,又z在复平面内对应的点位于第三象限,所以z=2, 所以辐角主值为. 2.解析　(1)z1=3=3cos +3isin =+i. (2)z2==cos +isin =×+×i=--i. (3)z3=2=2cos -2isin =2×+2×i=-+i. 3.解析　(1)r=,cos θ=-,复数-1-i在复平面内对应的点位于第三象限,所以-1-i的辐角主值为, 所以-1-i=. (2)因为a<0,所以r=|a|=-a,复数ai(a<0)在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上,则ai的辐角主值为, 所以ai=-a. (3)-(sin θ-icos θ)=(-sin θ+icos θ) =. 4.BC　复数z=1-i的三角形式为z=2cos +isin ,故A错误; 当r=1,θ=时,z=cos +isin =i, 因为i4k+1+i4k+2+i4k+3+i4k+4=0,k∈Z, 所以z+z2+z3+…+z2 024=0,故B正确; 当r=2,θ=时,z=2,则z3=2cos +isin 3=23(cos π+isin π)=-8,故C正确; 当r=3,θ=时,z=3, 则zn==3n, 若zn为纯虚数,则则=+kπ,k∈Z,所以n=4k+2,k∈Z, 虽然n=4k+2,k∈Z是偶数,但是偶数还有n=4k,k∈Z, 所以“n为偶数”是“zn为纯虚数”的必要不充分条件,故D错误. 5.解析　(1)8×4 =32 =32 =32 =32 =16+16i. (2)(cos 225°+isin 225°)÷[(cos 150°+isin 150°)] =[cos(225°-150°)+isin(225°-150°)] =(cos 75°+isin 75°) = =+i =+i. (3)4÷ =4(cos 0+isin 0)÷ =4 =2-2i. 6.B　由(x-1)6=1,得(x-1)6=cos 0+isin 0, 所以x-1=cos +isin ,k∈Z, 故x=cos +1+isin ,k∈Z, 因此集合B=(2,0),,,,. 当n=3时,同理得A=(1,0),,, 此时不存在Z1∈A,当Z2取遍集合B中的元素时,所得·的不同取值有5个, 同理可知n=4,n=6时,不满足题意,故A,C,D错误; 当n=5时,A=(1,0),,cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin , 当=时,Z2取遍集合B中的元素时,所得·的不同取值有5个,故B正确. 7.答案　--i 解析　设z1=1+i在复平面内对应的点为A,则A(1,),所以||==2,且与实轴正方向的夹角为60°(O为坐标原点), 将绕着原点逆时针旋转165°后落在第三象限,且与实轴负半轴的夹角为60°+165°-180°=45°,所以对应的点为(-,-),所以z2=--i. 8.解析　由题意得, (3-i) =(3-i) =3+i, (3-i) =(3-i) =-2i. 故把复数3-i对应的向量按逆时针方向旋转后得到的向量对应的复数为3+i,按顺时针方向旋转后得到的向量对应的复数为-2i. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网(www.21cnjy.com) ... ...