中小学教育资源及组卷应用平台 2026苏教版高中数学必修第二册 9.2.3 向量的数量积 基础过关练 题组一 向量的数量积和运算律 1.(多选题)(2025江苏徐州启星中学月考)关于平面向量a,b,c,下列说法不正确的是( ) A.(a-b)·(a+b)=a2-b2 B.(a+b)·c=a·c+b·c C.若a·b=a·c,且a≠0,则b=c D.(a·b)2=a2·b2 2.(2025江苏扬州邗江中学阶段测试)已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=3,则a2+a·b=( ) A.10 B. 3.(2025江苏南通第一中学阶段性考试)已知P是边长为2的等边△ABC所在平面内一点,,则=( ) A.1 B. 题组二 投影向量 4.(2024湖北宜昌、荆州、荆门、恩施四地联考)若向量a,b满足|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61,则a在b上的投影向量为( ) A.-b B.-b C.b D.-b 5.(2025江苏扬州大学附属中学阶段测试)设向量a,b是非零向量,且|a|=2|b|,向量a在向量b上的投影向量为-2b,若(λa+b)·(a-b)=0,则实数λ的值为( ) A. D.2 题组三 向量的模和夹角 6.(2025江苏无锡江阴长泾中学月考)已知单位向量a,b满足a·b=,且c=2a+b,则sin
=( ) A. 7.(2025江苏南通第一中学阶段性考试)已知e是单位向量,且|e-a|=,a+e在e上的投影向量为e,则a与e的夹角为( ) A. 8.(易错题)(2024江苏无锡第一中学阶段检测)已知i,j为互相垂直的单位向量,a=i+2j,b=3i-(λ-4)j,且a与a+b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围为( ) A.(0,+∞) B.(0,10)∪(10,+∞) C.(-∞,-2)∪(-2,8) D.(-∞,0) 9.(易错题)(2025江苏南通启东中学月考)若平面向量a,b,c两两的夹角相等,且|a|=1,|b|=2,|c|=4,则|a+b+c|= . 10.(2025江苏南京励志高级中学调研)正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,F为CD上一点,且=5,则||= . 题组四 向量的垂直 11.(教材习题改编)已知向量a与b的夹角为30°,|a|=2,|b|=,若a⊥(λa-b),则实数λ=( ) A. D.2 12.(2024江苏南京金陵中学学情调研)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( ) A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b 能力提升练 题组一 向量的数量积运算 1.(2025江苏淮安高级中学月考)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是线段AD的三等分点,若=2,则=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(2025江苏常州第一中学质量检测)点P在边长为1的正三角形ABC的外接圆上,则的最大值为( ) A. C. 3.(2024江苏南京第一中学月考)骑自行车是一种环保又健康的运动方式,某自行车的平面结构示意图如图所示,已知圆A(前轮),圆D(后轮)的半径均为,△ABE,△BEC,△ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点,则在骑该自行车的过程中,的最大值为( ) A.50 B.48 C.60 D.72 4.(2025江苏无锡天一中学期中)在△ABC中,,且≤B≤,则的取值范围是( ) A.[-2,2] B.[-6,2] C. 题组二 向量的模和夹角 5.(教材习题改编)(2024重庆部分学校月考)在△ABC中,,则△ABC的形状为( ) A.直角三角形 B.三边均不相等的三角形 C.等边三角形 D.等腰(非等边)三角形 6.(2024北京延庆期末)已知等边△ABC的边长为6,D在AC上且AD=2DC,E为线段AB上的动点,则||的取值范围为( ) A.[2] C.[4,2] D.[4,6] 7.(多选题)(2025江苏无锡第一中学月考)已知在△ABC中,AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC边上的中线AM,BN相交于点P,则下列结论正确的是( ) A.AM= B.BN= C.∠MPN的余弦值为 D.=0 8.(2025江苏南通中学月考)已知互为相反向量,若||=4,则夹角的余弦值的最小值为 . 题组三 向量数量积的综合应用 9.(多选题)(2025江苏南通中学月考)著名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心 ... ... 
