湖南省益阳市南县第一中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题 一、单选题 1．若双曲线满足，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．若，则（ ） A． B．1 C． D．或 3．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设等差数列的前项和为，若，，则的值为（ ） A．4 B． C．1 D． 5．已知平面向量，，，若与平行，则实数的值为（ ） A． B．4 C． D．1 6．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程，变量增加一个单位时，平均增加5个单位；③线性回归方程必过；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病；其中错误的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 7．将曲线（为自然对数的底数） 绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（ ） A． B． C． D． 8．三棱锥中，为等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列选项中正确的是（ ） A．已知事件A、B互斥，A、B至少有一个发生的概率为，且，则 B．已知事件A、B满足，，若，则 C．随机变量X的概率分布列为，其中a是常数，则 D．有五个不同的科目，甲、乙两人分别选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为 10．在复平面内，复数对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 11．已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且 ，则下列结论正确的有（ ） A． B．任意的， C．存在，使得 D．数列有最大值，无最小值 三、填空题 12．已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则的值为 ． 13．已知函数，满足，且，则的最小值为 ． 14．某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件，“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件，则 . 四、解答题 15．在△中，内角的对边分别是，且. (1)求证：； (2)若，且是边的中点，求的最小值. 16．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 17．如图所示，已知四棱锥中，，. (1)求证: 平面； (2)当四棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值. 18．平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点. （i）求的值； （ⅱ）求面积的最大值. 19．已知集合，，设函数. (1)当和时，分别判断函数是否是常数函数？说明理由； (2)已知，求函数是常数函数的概率； (3)写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由. 参考答案 1．C 【详解】由，得， 即. 故选：C. 2．C 【详解】由题意得，， 则. 故选: . 3．A 【详解】由解得或，因为是或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4．D 【详解】设公差为，由，，所以，解得， 则. 故选：D 5．D 【详解】因为，，， 所以， 由与平行， 得， 解得 故选：D. 6．C 【详解】由方差的定义与性质可知，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，所以①上正确的；回归方程为，变量增加一个单位时，平均增加个单位，所以②是错误的；线性回归方程必过样本中心点，所以③是正确的；有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，说某人吸烟，不能认为他有99%的可能患肺病，所以④是错误的；即正确命题 ... ...
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