4.2.2.2等差数列前n项和的应用 一．选择题 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4+a15的值为确定的常数,则下列各数中也一定是常数的是( ) A.S7 B.S8 C.S13 D.S15 2.《张丘建算经》卷上有一题,其意思为现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布.现在一月(按30天计算)共织390尺布,记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an,则a14+a15+a16+a17的值为( ) A.55 B.52 C.39 D.26 3.在数列{an}中,若an=43-3n,则Sn取得最大值时,n等于( ) A.13 B.14 C.15 D.14或15 4.已知数列{an}中,a1=1,Sn=n2-n,设bn=,则数列{bn}的前n项和为( ) A. B. C. D. 5.已知等差数列{an}中,a1=11,前7项的和S7=35,则前n项和Sn中( ) A.前6项和最大 B.前7项和最大 C.前6项和最小 D.前7项和最小 6.(多选题)设数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1>0,且S6=S9,则( ) A.d>0 B.a8=0 C.S7或S8为Sn的最大值 D.S5>S6 7.已知点(n,an)在函数y=9-2x的图象上,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为( ) A.-14 B.-16 C.14 D.16 8.已知数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn,且点P(an,an+1)在直线x-y+1=0上,则+…+等于( ) A. B. C. D. 9.已知等差数列{an}的前n项和Sn有最小值,且-1<<0,则使得Sn>0成立的n的最小值是( ) A.11 B.12 C.21 D.22 10.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.已知a3=12,S12>0,a7<0,则( ) A.a6<0 B.-0,且S9<0,则S1,S2,…,S9中最小的是 . 13.(2024·新高考Ⅱ)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10= . 三．解答题 14.已知等差数列{an}满足a1+a3+a5=24,an=an-2-2(n≥3). (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前n项和Sn. 15.设{an}是等差数列,a1=-10,且(a3+8)2=(a2+10)·(a4+6). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值. 16.已知数列{an}满足a1=1,(n+1)an+1-nan=n+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若Sn为数列的前n项和,求证≤Sn<2. 17.某山村投资64万元新建一处农业生态园.建成投入运营后,第一年需支出各项费用11万元,以后每年支出费用增加2万元.从第一年起,每年收入都为36万元.设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出费用-投资额). (1)求f(n)的表达式,计算前多少年的纯利润总和最大,并求出最大值; (2)计算前多少年的年平均纯利润最大,并求出最大值. 18.已知数列{an}的前n项和为Sn,且点(n,Sn)在函数y=x2+x的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列的前n项和为Tn,不等式Tn>loga(1-a)对任意的正整数n恒成立,求实数a的取值范围. 4.2.2第2课时 等差数列前n项和的应用 一．选择题 1.C 设等差数列{an}的公差为d,由题意可知a2+a4+a15=a1+d+a1+3d+a1+14d=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数, 又S13==13a7,故S13一定是常数. 2.B 由题意可得{an}为等差数列,设其公差为d.a1=5,S30=30×5+d=390,解得d=,故a14+a15+a16+a17=a1+13d+a1+14d+a1+15d+a1+16d=4a1+58d=4×5+58×=52. 3.B 当n≥2时,an-an-1=43-3n-[43-3(n-1)]=-3,当n=1时,a1=40,即{an}是以40为首项,-3为公差的等差数列,故Sn==-n2+n=-,则当n=14时,Sn取得最大值. 4.A 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-n-=3n-2,当n=1时,a1=3×1-2=1,符合上式,故an=3n-2,则bn=. 设Tn为数列{bn}的前n项和,则Tn==. 5.A 由题意知S7==35,则a7=-1,因为a1=11,所以公差d==-2,即an=-2n+13,则a6>0,a7<0,故前6项和最大. 6.BC 因为Sn=na1+d,所以Sn=n2+n,则Sn是关于n(n∈N*)的一个二次函数,又a1>0,且S6=S9,则二 ... ...
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