(
课件网) 第六章 立体几何初步 §6 简单几何体的再认识 6.3 球的表面积和体积 必备知识解读 知识点1 球的截面 1 球的大圆和球的小圆 用一个平面去截球，截面是圆面．球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大 圆；被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆． 2 截面的性质 （1）位置关系：球心和不经过球心的截面的圆心的连线垂直于截面（如图6-6.3 -1所示）． 图6-6.3-1 （2）度量关系：球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径 满足关系 式 . 特别提醒 利用球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空 间问题转化为平面问题的主要途径. . . 学思用·典例详解 例1-1 已知某球球心到其截面的距离为3，球的半径为5，则截面面积为_____. 【解析】依题意，得截面圆的半径 , 所以所求截面面积为 . 例1-2 用一个平面截半径为的球，截面面积是 ,则球心到截面的距离 为____ . 20 【解析】球的半径，截面圆的半径 ,则球心到截面的距 离 . 知识点2 球的切线 1 定义 当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点. 2 切线的性质 （1）过球外一点可以作球的无数条切线. （2）过球外一点的所有切线的切线长都相等. 如图6-6.3-2，设过点的直线与球相切于点，则 ,即球的切线垂直于 过切点的半径，所以切线长 （定值）. 设点在上的垂足为，则 （定值），即所有切点的 集合是以点为圆心、为半径的圆，圆面 及所有切线围成了一个圆锥 （如图6-6.3-3所示）. 图6-6.3-2 图6-6.3-3 学思用·典例详解 例2-3 过球外一点作球的三条切线，切点分别为,,，若，，， 是棱长为2 的正四面体的顶点，则该球的半径为____. 图6-6.3-10 【解析】如图6-6.3-10所示，设的中心为,连接，，则球心在 的延长 线上,记球心 为.连接，， . 依题意知，， , 根据勾股定理得 . 在中，由射影定理得，解得 . 又 是球的切线， 所以在中， ,所以该球的半径为 . 知识点3 球的表面积和体积 1 球的表面积 球的半径为，那么它的表面积.球的大圆半径等于球的半径 ,故大 圆面积,是球的表面积的 . . 2 球的体积 球的半径为，那么它的体积 . 知识剖析 1.球的表面是曲面，不能展开在一个平面上，因此不能用计算平面图形的 面积的方法来计算其表面积，但是由球的表面积公式求得的值是准确值，而不是近 似值. 2.常用结论：两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方，体积之比 等于这两个球的半径之比的立方. 学思用·典例详解 例3-4 半径为 的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等，则长方 体的表面积为____. 88 【解析】球的体积为，则长方体的高为 ， 故长方体的表面积为 . 释疑惑 重难拓展 知识点4 与球有关的切、接问题 1 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案 2 外接球的常见情形 图6-6.3-4 （1）圆柱的外接球：如图6-6.3-4所示，在圆柱中， 为圆柱底面圆的一条直径， 是一条母线，则其外接球的球心就 是线段的中点.设圆柱的底面半径为,圆柱的高为 ,外接球的半 径为,则 . 图6-6.3-5 （2）直棱柱的外接球：如图6-6.3-5所示，可以将直棱柱的 外接圆柱 作出来，则直棱柱的外接球即其外接圆柱的外接球. 设外接圆柱的底面半径为，直棱柱的高为 ，外接球的半径 为，则 . 图6-6.3-6 （3）直棱锥的外接球：如图6-6.3-6所示，可先将直棱锥 补成直棱柱，再将其外接圆柱 作出来，则直棱锥的 外接球即所补直棱柱的外接圆柱的外接球.设外接圆柱 的底面 半径为，直棱锥的高为,外接球的半径为 ,则 . 图6-6.3-7 （4）有一个侧面垂直于底面的棱锥的外接球：如图6-6.3-7 所示，三棱锥中，侧面 底面，可在平面 内作垂直，且交的外接圆于点,则三棱锥 的 外接球与三棱锥的外接球 ... ...
