安徽省亳州市2025届高三上学期期末质量检测数学试卷（含答案）

安徽省亳州市2024-2025学年高三上学期期末质量检测数学试卷 一、单选题 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．复数的虚部为（ ） A． B． C． D．3 3．四川耙耙柑以果肉饱满圆润，晶莹剔透等特点深受民众喜爱，某耙耙柑果园的质检员对刚采摘下来的耙耙柑采用随机抽样的方式对成筐的耙耙柑进行质检，记录下了8筐耙耙柑中残次品的个数为5，7，6，3，9，4，8，10，则该组样本数据的第30百分位数为（ ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 4．下列函数中为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，则的面积为（ ） A．2 B．3 C．6 D．8 6．已知，且是关于的方程的一个根，则的最小值是（ ） A．2 B．4 C． D．8 7．若当动点在圆上运动时，的取值范围，则圆心（ ） A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．一定在直线上 D．一定在直线上 8．已知四面体的棱，分别是同一个圆柱上、下底面的直径，若圆柱的体积为，则四面体体积的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 9．关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A．展开式共有7项 B．每一项中的指数都是偶数 C．各项系数的和为64 D．常数项为540 10．若双曲线的渐近线方程为，且与直线交于两点，则（ ） A． B． C．在两点处的切线倾斜角互补 D．在两点处的切线夹角为 11．已知函数的图象关于点中心对称，，的最小正周期为，且，则（ ） A． B． C． D．在区间内最多存在两个极值点 三、填空题 12．已知向量，为两个相互垂直的单位向量，则 . 13．已知数列的奇数项按原来的顺序构成一个以为首项，2为公比的等比数列，偶数项按原来的顺序构成一个以为首项，3为公差的等差数列.若的前10项和，则 . 14．已知函数，若关于的方程有唯一解，则 . 四、解答题 15．如图，在平面四边形中，，，平分. (1)若，，求； (2)若，求. 16．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若在区间内存在零点，求的取值范围. 17．如图，在六面体中，平面，平面，四边形为菱形，，，. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量的所有可能取值为1，2，…，，且，，定义的信息熵. (1)证明：当且仅当时，； (2)若，且，比较与1的大小； (3)重复抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面朝上则继续抛，如果反面朝上就立即停止，且抛20次后即使没有出现反面朝上也停止，若将停止时抛掷硬币的次数记为，求. 19．已知曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离之比为. (1)求的方程. (2)若点在圆上，，为的两条切线，，是切点. （i）求点的纵坐标的取值范围； （ii）求的面积S的最大值. 附：若曲线的两条切线相交于点，则两侧切点所在直线的方程为. 参考答案 1．A 【详解】因为集合，， 因此，. 故选：A. 2．B 【详解】，所以的虚部为. 故选：B 3．A 【详解】残次品的个数由小到大排列为：3，4，5，6，7，8，9，10， 由，得该组样本数据的第30百分位数为5. 故选：A. 4．D 【详解】对于A，由且可得的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，A错误； 对于B，函数的定义域为R，令，，∴函数不是偶函数，B错误； 对于C，函数的定义域为，令，则，所以函数为奇函数，C错误； 对于D，函数的定义域为R，令，， ∴函数为偶函数，D正确. 故选：D. 5．B 【详解】. 解得：或，由图，，则. 又由题可得，则点F到PQ距离为. 则的面积为. 故选：B 6．D 【详解】中，，故方程有两个不等实根， 设另一个根为， 由题意得， 由得，故，即， 故， 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 7．C 【详解】如下图所示：， 因为的取值范围， 所以，直线的倾斜角的取值范围是， 由题意可知，直线、为圆的两条切线， 即直线、为圆的两条切线， 由图可知 ... ...