5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质（课件+学案）（含答案）

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第1课时　周期性与奇偶性 【课程标准要求】　1.理解周期函数的概念,能熟练地求出简单三角函数的周期.2.会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性,能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性. 知识归纳 知识点一　正弦、余弦函数的周期性 1.周期函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 3.正弦、余弦函数的周期性 (1)正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π. (2)余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π. (1)“每一个x”强调定义域中每一个值都得成立. (2)周期函数的周期不唯一,任何T的非零整数倍都是函数的周期. (3)三角函数的周期是函数的整体性质,我们在研究函数时,只需研究一个周期上的图象和性质即可. (4)若不加特殊说明,一般求三角函数的周期的问题,求的是函数的最小正周期. 知识点二　正弦、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数. 基础自测 1.(人教A版必修第一册P203练习T2改编)下列函数中,最小正周期为π的是(　　) [A]y=sin x [B]y=cos x [C]y=sin x　 [D]y=cos 2x 2.函数f(x)=sin xcos x是(　　) [A]奇函数　 [B]偶函数 [C]非奇非偶函数　 [D]无法确定 3.设函数f(x)=sin(2x-),x∈R,则f(x)是(　　) [A]最小正周期为π的奇函数　 [B]最小正周期为π的偶函数 [C]最小正周期为的奇函数 [D]最小正周期为的偶函数 -cos 2x=f(x),所以f(x)是最小正周期为π的偶函数.故选B. 4.若f(x+1)=-f(x),则f(x)的一个周期为　　　　. 题型一　正弦、余弦函数的周期性 [例1] 求下列三角函数的周期: (1)y=sin x,x∈R; (2)y=cos x,x∈R; (3)y=|cos x|,x∈R. 法二　T==3π. (2)法一　因为cos(x+2π)=cos x,由周期函数的定义知,y=cos x的周期为2π. 法二　T==2π. (3)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cos x|的周期为π. 求三角函数周期的方法 (1)定义法,即利用周期函数的定义求解. (2)公式法,对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的函数,T=. (3)图象法,即通过观察函数图象求其周期. 提醒:y=|cos x|与y=|sin x|均是周期为π的周期函数,而y=cos|x|是周期为2π的周期函数,y=sin|x|则不是周期函数. [变式训练] 求下列函数的周期: (1)y=cos(4x+); (2)y=3sin(-x+); (3)y=|sin x+|. (2)函数y=3sin(-x+)的周期为T==4π. (3)结合y=|sin x+|的图象(如图)可知其周期为T=2π. 题型二　正弦、余弦函数的奇偶性 [例2] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=sin(x+); (2)f(x)=|sin x|+cos x; (3)f(x)=x2cos(x+); (4)f(x)=. 又f(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x), 所以函数f(x)=sin(x+)是偶函数. (2)函数f(x)=|sin x|+cos x的定义域为R, 因为 x∈R,都有-x∈R, 又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x), 所以函数f(x)=|sin x|+cos x是偶函数. (3)f(x)=x2cos(x+)=-x2sin x,x∈R, 因为 x∈R,都有-x∈R, 又f(-x)=-(-x)2sin(-x)=x2sin x=-f(x), 所以函数f(x)=x2cos(x+)为奇函数. (4)因为2sin 2x-1≥0,所以sin 2x≥, 所以+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z), 即x∈[+kπ,+kπ](k∈Z), 定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数. (1)判断函数奇偶性应把握好两个方面:一看函数的定义域是否关于原点对称(提醒:研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则);二看f(x)与f(-x)的关系. (2)对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化 ... ...