3.4 导数在实际生活中的应用 学案（含答案）

3.4　导数在实际生活中的应用 课时目标　通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的最值问题． 1．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值． 2．解决优化问题的基本思路是： 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模的过程． 一、填空题 1．随着人们生活水平的提高，汽车的拥有量越来越多，据有关统计数据显示，从上午6 点到9点，车辆通过某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似表示为y＝－t3－t2＋36t－.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是_____． 2．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为_____． 3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为_____ cm. 4．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为_____件． 5. 如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为_____． 6．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系式为R＝则总利润最大时，每年生产的产品件数是_____． 7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_____千米处． 8．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为_____． 二、解答题 9．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 10.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 能力提升 11．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝) 12．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－q，求产量q为何值时，利润L最大． 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤． (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)写出答案． 3.4　导数在实际生活中的应用 作业设计 1．8 解析　由题意知，所求的量为当y为最大值时的自变量t的取值， y′＝－t2－t＋36，令y′＝ ... ...