2.3 数学归纳法 学案（含答案）

2.3　数学归纳法 课时目标　1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.3.掌握数学归纳法的实质及与归纳，猜想的关系.4.能运用数学归纳法解决实际问题． 1．数学归纳法公理 对于某些_____的数学命题，可以用数学归纳法证明． 2．证明步骤 对于某些与正整数有关的数学命题，如果 (1)当n_____结论正确． (2)假设当_____时结论正确，证明当_____时结论也正确． 那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立． 一、填空题 1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N )，在验证n＝1时，等号左边的项是_____． 2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取_____． 3．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N )，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多了____项． 4．设f(n)＝＋＋＋…＋ (n∈N )，那么f(n＋1)－f(n)＝_____. 5．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“n＝k到n＝k＋1”左端需增乘的代数式为_____． 6．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝时，则n＝k＋1时的左端应在n＝k时的左端加上_____． 7．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1 (n∈N )的过程如下： (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n＝k时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N ，等式都成立．上述证明的错误是_____． 8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an (n∈N )．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为_____． 二、解答题 9．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N )，并用数学归纳法证明你的结论． 10．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝(n＝1,2,3，…)． (1)求a2，a3； (2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 能力提升 11．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在正整数m，使得对任意n∈N 都能使m整除f(n)，则最大的m的值为多少？并证明之． 12．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N ，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上． (1)求r的值； (2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N )， 证明：对任意的n∈N ，不等式··…·>成立． 1．数学归纳法在证明与正整数n有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用． 2．在证明n＝k＋1时的命题中，怎样变形使之出现n＝k时的命题的形式是解决问题的关键，要找清n＝k＋1时式子结构或几何量的改变． 答 案 知识梳理 1．与正整数有关 2．(1)取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时 (2)n＝k (k∈N ，且k≥n0)　n＝k＋1 作业设计 1．1＋a＋a2 解析　当n＝1时，an＋1＝a2. ∴等号左边的项是1＋a＋a2. 2．5 解析　当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5. 3．2k 解析　观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋＋…＋， 而f(2k＋1)＝1＋＋…＋＋＋＋…＋. 因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项． 4.－ 5．2(2k＋1) 6．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 7．没有用到归纳假设，不是数学归纳法 8．Sn＝ 解析　S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝， 猜想Sn＝. 9．证明　当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1， 当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4， 当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9， 当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16， 由此可以猜想， 2n＋2>n2 (n∈N )成立． 下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边，所以原不等式成立． 当n＝2时，左边＝22＋2＝6， 右边＝22＝4，所以左边>右边； 当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边． ②假设n ... ...