广西壮族自治区柳州市2026届高三年级上学期第二次模拟考试(柳州二模)数学试卷(图片版,含答案)

柳州市 2026届高三第二次模拟考试数学参考答案 2026.1 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B C C B B D 二、多选题 9 10 11 选 2个 选 2个 选 1个（B 选 1个（A 选 1个（B 选 2个 （BC或 选 3个 （AB或 选 3个 或C或 或B或 或C） （BC） BD或 （BCD） AD或 （ABD） D） D） CD） BD） 3分 6分 2分 4分 6分 2分 4分 6分 三、填空题 12. 5π6 (或 150°) 13. 3 7 14. 5 三、解答题 15.解析：(1)设等差数列 an 的公差为 d. a1+d=2,由题意可得 + 5×4 = 解得 a1= 1，d= 1，则 an= a1+ (n- 1)d=n.5a1 2 d 15, (2)由 (1)可知 an=n，则 b nn= 2 +n， 故Tn= b1+ b2+ b3+ +bn= 21+1 + 22+2 + 23+3 + + 2n+n = (21+ 22+ 23+ +2n) + (1+ 2+ 3+ +n) 2(1-2n= ) n(n+1) n+1 n(n+1)1-2 + 2 = 2 - 2+ 2 16． (1)当 a= 1 1 1 1时，f(x) = x + lnx，求导得 f (x) =- 2 + x ，则 f (1) = 0，而 f(1) = 1， x 所以曲线 y= f(x)在点 (1 , f(1))处的切线方程的为 y= 1. (2) a函数 f(x) = x + lnx的定义域为 (0 ,+∞)，求导得 f (x) =- a2 + 1 x-a x x = 2 ，x 当 a≤ 0时，f (x)> 0，函数 f(x)在 (0 ,+∞)上单调递增，函数 f(x)无极值； 当 a> 0时，由 f (x)< 0，得 0< x< a；由 f (x)> 0，得 x> a， 函数 f(x)在 (0 , a)上单调递减，(a ,+∞)上单调递增， 因为 f(x)有极小值，所以 a> 0，极小值 g(a) = f(a) = 1+ lna， 令函数 h(a) = ea-1- lna- 1，求导得 h (a) = ea-1- 1a ， 由于 h''(a) = ea-1+ 12 > 0 ,故函数 h (a)在 (0 ,+∞)上单调递增，且 h (1) = 0， a 则当 0< a< 1时，h (a)< 0，当 a> 1时，h (a)> 0， 函数 h(a)在 (0 , 1)上单调递减，(1 ,+∞)上单调递增，所以 h(a)≥ h(1) = 0， 即 ea-1- lna- 1≥ 0，所以 g(a)≤ ea-1. 17. (1)连接DA，EA，DA1= 1，AA1= 2，∠DA1A= 60°， 在△A1AD中，由余弦定理可得DA= 12+22-2 1 2 cos60° = 3 . 满足DA2+DA2 21=AA1，所以DA⊥DA1，即DA⊥AB. 因为平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC=AB，DA 平面ABB1A1 ·1· 故DA⊥平面ABC. 由BC 平面ABC，得DA⊥BC，DA⊥AC. 因为DE⊥BC，DA∩DE=D，且DA，DE 平面DAE， 所以BC⊥平面DAE. 由AE 平面DAE，得BC⊥AE. 设BE= t，CE= 3t，有BA2- t2=AC2- (3t)2，解得：t= 1，即BE= 1. 所以BC= 4，满足BA2+AC2=BC2，故AC⊥AB. 又因为DA⊥AC，DA∩AB=A，且DA，AB 平面ABB1A1，所以AC⊥平面ABB1A1. 由BB1 平面ABB1A1，得AC⊥BB . 1 (2)以A为坐标原点，AB ,AC ,AD分别为 x , y , z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系. 3 D 0,0, 3 ，E 2 , 3 2 ,0 ，A1 -1,0, 3 ，DA1= -1,0,0 ，EA1= - 5 2 ,- 3 2 , 3 . 设平面DEA1的法向量n= x,y,z ， n DA -x=0 由 1=0 ，即 - 5 - 3 + = ，取 z= 1，得到平面PBD 的一个法向量n= 0,2,1 . n EA =0 2 x 2 y 3z 01 又BB1=AA1= -1,0, 3 ， 设直线BB1与平面DEA1所成角的大小为 θ， n BB1 3 15 则 sinθ= cosn,BB1 = = = . n BB 5 4 101 15 所以直线BB1与平面DEA1所成角的正弦值为 10 . 18. (1) c 3离心率 e= a = 2 ，又因为E为OB中点，所以 a= 2，c= 3 , b= 1 x2 所以C的方程为 24 + y = 1. (2) (i)设直线AB方程为 x=my+ 1，C ,D两点坐标分别为 x1,y1 , x2,y2 ， x=my+1 联立椭圆方程 x2 24 +y =1 y +y = -2m1 2 2 (m2+ 4)y2+ 2my- 3= 0 Δ= 16m2+ 48> 0 m +4可得 ， ，则 y y = -31 2 m2+4 -3 = y1 y2 = y1 y2 = y y 2 k k 1 2 m +41 2 x -2 x -2 my -1 my -1 m2 = 1 2 1 2 y1y2-m y1+y2 +1 m2 -3 -2m m2+ -m4 m2+ +14 =- 34 . (ii)由 (i)可得 y y y y AC 1 1 2 2直线 方程为 y= x +2 (x+ 2) = my +3 (x+ 2)，直线BD方程为 y= x -2 (x- 2) = my -1 (x- 2)，1 1 2 2 = yy 1my +3 (x+2)1 4my1y2+6y2-2y1 联立两个直线方程 y 可得 x= 3 ... ...