专题六 立体几何 考点一 空间几何体的结构特征和表面积 1.（2021·新高考Ⅰ卷3题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A.2 B.2 C.4 D.4 解析：B 设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为，所以2π×＝πl，解得l＝2，故选B. 2.（2020·全国Ⅰ卷3题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A. B. C. D. 解析：C 设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m，依题意得h2＝×2a×m，即h2＝am ①，易知h2＋a2＝m2 ②，由①②得m＝a，所以＝＝.故选C. 3.（2021·新高考Ⅱ卷4题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36 000 km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O，半径r为6 400 km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S＝2πr2（1－cos α）（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（ ） A.26% B.34% C.42% D.50% 解析：C 如图，作出过地球静止同步轨道卫星轨道左右端点的竖直截面，则OB＝36 000＋6 400＝42 400，cos α＝＝，S占地球表面积的百分比为＝≈42%，故选C. 4.（2020·全国Ⅰ卷10题）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（ ） A.64π B.48π C.36π D.32π 解析：A 如图所示，设球O的半径为R，☉O1的半径为r，因为☉O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以＝2r，解得AB＝2，故OO1＝2，所以R2＝O＋r2＝（2）2＋22＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π.故选A. 5.（2023·全国甲卷15题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有12个公共点. 解析：如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为，而正方体的中心到每一条棱的距离均为，所以以EF为直径的球与每一条棱均相切，所以共有12个公共点. 考点二 空间几何体的体积 6.（2024·新高考Ⅰ卷5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A.2π B.3π C.6π D.9π 解析：B 设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B. 7.（2022·新高考Ⅰ卷4题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为（≈2.65）（ ） A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3 C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3 解析：C 如图，由已知得该棱台的高为157.5－148.5＝9（m），所以该棱台的体积V＝×9×（140＋＋180）×106＝60×（16＋3）×106≈60×（16＋3×2.65）×106＝1.437×109≈1.4×109 （m3）.故选C. 8.（2022·新高考Ⅰ卷8题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析：C 如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的 ... ...
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