与数列相关的新情境问题 以数列为背景的情境问题，主要有三类： (1) 取材于中国古代数学名著，如《周髀算经》 、《九章算术》 、《孙子算经》 、《梦溪笔谈》 、《九章算术注》 、《算法统宗》 、《四元玉鉴》等，这类问题注重考查阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力． (2) 取材于数学名题，如“斐波那契数列” “等方差数列” “中国剩余定理”(又称“孙子定理”) “三角形数阵” “冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)等，这类问题以数学名题为背景设题，强化了对数学文化的秉承和数学应用意识的培养，考查了数学建模、数据分析的核心素养． (3) 对于数学文化或实际生活中所涉及的数列模型，解题时应认真审题，从问题背景中提取相关信息并分析归纳，然后构造恰当的数列模型，再根据等差或等比数列的有关公式求解作答，必要时要进行检验． 考点一 与历史文化相关 例1 (1) （湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（ ） A．196 B．197 C．198 D．199 【详解】设该数列为，则；由二阶等差数列的定义可知，所以数列是以为首项，公差的等差数列，即，所以将所有上式累加可得，所以；即该数列的第15项为.故选：C (2) “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到1 009这1 009个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有( ) A. 100项 B. 101项 C. 102项 D. 103项 【解析】 因为能被2除余1且被5除余1的数就能被10整除余1，所以按从小到大的顺序排成一列可得an＝10n－9，由an＝10n－9≤1 009，得n≤101.8，故此数列的项数为101. 故选B 跟踪演练1 （1） “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( ) A. f B. f C. f D. f 【解析】 由题意知，十三个单音的频率构成首项为f，公比为的等比数列，设该等比数列为{an}，则a8＝a1q7，即a8＝f. 故选D （2）公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000 m处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000 m，此时乌龟便领先他100 m；当阿基里斯跑完下一个100 m时，乌龟仍然前于他10 m．当阿基里斯跑完下一个10 m时，乌龟仍然前于他1 m……所以阿基里斯永远追不上乌龟．根据这样的规律，则阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2 m时，乌龟爬行的总距离为( ) A. m B. m C. m D. m 【解析】 根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为.当阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2 m时，乌龟爬行的总距离为100＋10＋…＋10－2＝＝. 故选B 考点二 与生活实际相关 例2 （1）某公司为了激励创新，计划逐年加大研发资金的投入．若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上 ... ...
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