与函数导数相关的新情境问题 热点一 幂函数、指数函数与对数函数 例1、（1）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数； 例如：.已知，则函数的值域为 A． B． C． D． 【提示】注意理解新定义并构建与指数函数的关联； 【答案】 【解析】， 当时，，则，故，故； 但时，，则，故，； 综上所述，函数的值域为； 【说明】本题主要考查新定义函数及函数值域求解问题；解答本题的关键在于利用常数分离法将原函数解析式化为，然后分析函数的值域，再根据高斯函数的含义确定的值域； （2）、如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中错误的说法有（ ） A．野生水葫芦的面积每月增长率为1 B．野生水葫芦从蔓延到历时至少需要1.5个月 C．设野生水葫芦蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有 D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度小于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度 【提示】注意根据图像求出指数函数的解析式，再根据解析式、增长率的定义、平均速度的定义以及对数知识可得答案； 【答案】B； 【解析】因为函数关系为指数函数，所以设函数为，由图可知，，所以， 所以， 设野生水葫芦的面积每月增长率为，则第个月的面积，第个月的面积为， 则，得，得， 所以野生水葫芦的面积每月增长率为1，故A正确； 由，得，得， 由，得，得， 所以野生水葫芦从蔓延到的时间为， 因为，所以，所以，B是错误的； 因为，，， 所以，，， 所以，， 所以，故C正确； 野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为月， 野生水葫芦在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度为月，故D正确； 故选：B； 【说明】本题将数学阅读理解、指数函数的图像与性质的理解与应用，置于整理环境的背景下； 跟踪演练1（1）、《中华人民共和国国家标准综合排放标准》中一级标准规定的氨氮含量允许排放的最高浓度为15ml/L．某企业生产废水中的氨氮含量为450ml/L，现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少，要使废水中的氨氮含量达到国家排放标准，至少要进行循环的次数为 次(参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.4771) 【提示】注意阅读理解与转化； 【答案】9 【解析】由题意可知，循环n次后氨氮含量为450×(1－)n，则450×(1－)n＜15，即()n＜， 两边取以10为底的对数可得，lg()n＜lg，即nlg＜lg， 所以n＞＝＝≈8.39， 所以n的最小值为9， 故填：9； 【说明】本题主要通过阅读理解，依据题设构建与指数函数、指数与对数互化，并进行近似计算； （2）、2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间T（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量），经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的，据此推测良渚古城存在的时期距今约_____年（参考数据：，，） 【提示】注意理解与用好题设，得，，求解指数方程得，则答案可求； 【答案】6876； 【解析】因为，样本中碳14的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足， 由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的， 所以，， 即，两边同时取以2为底的对数，得： ． 所以，年． 所以，推测良渚古城存在的时期距今约在6876年． 故答案为：6876； 【说明】本题主要将考查指数型函数的应用，考查对数的运算；置于“考古”的背景之中；意在考查学生 ... ...
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