镇海中学2025学年第一学期期末考试 高三数学试题卷 26.01 本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟. 选择题部分(共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 已知集合，则（） A. B. C. D. 已知为虚数单位，（） A. B. C. D. 已知向量，则（） A. B. C. D. 抛物线的焦点到直线的距离为（） A. B. C. D. 在中，“”是“为等腰三角形”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 已知正四棱锥的底面边长为4，高为6，则该正四棱锥的内切球半径为（） B. C. D. 现有7幅书法作品，每一幅上分别写着“祝、你、数、学、一、百、五”的字样，7幅作品全部奖励给成绩优异的小许、小妍、小皓3位同学，每人至少得到一份，则不同的奖励方案有（）种 A. 1470 B. 1512 C. 1806 D. 2982 已知集合与集合，用表示集合的元素个数，表示不超过的最大整数，则（） 1214 B. 1215 C. 1216 D. 1217 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 已知的展开式中常数项为3，，则下列说法正确的有（） A. B. 的展开式中的系数为3 C. 的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和 D. 的展开式中系数最大的项为第2项或第3项 已知三棱柱，为中点，下列选项正确的是（） A. 过点有且只有一条直线与直线，都垂直 B. 过点有且只有一个平面与直线，都垂直 C. 过点有且只有一个平面与直线，都平行 D. 过点有且只有一个平面与直线，都相交 已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（） A. 的三角形式为 B. 若，则的值为3 C. 中有44个正整数 D. 非选择题部分(共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 双曲线：的渐近线的斜率为 . 已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为 . 将一个棱长为1的正四面体和各条棱长都为1的正四棱锥按如图所示的方式拼接在一起，则此几何体的各个面所在的平面将空间分成 个部分. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 已知数列中，，。 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和。 已知在中，。 求的值； （2）若边上的高等于，求。 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内。 如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为，求的分布列与数学期望。 现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞一次时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽。有10个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下。试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 抛物线上一点到轴的距离为，焦点为， (1) 求抛物线的方程与点横坐标； (2) 若在轴上方，抛物线的准线与轴交于，过作一条斜率为负的直线交抛物线于两点，点在点左侧. (i) 试判断在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率之和为0。若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； (ii) 若的余弦值为，记的面积为的面积为，求的值。 已知函数，圆，设与的图像交于两点. (1) 求在处的切线方程； (2) 试判断线段的中点在第几象限，并证明； (3) 证明：随着的变化，直线的斜 ... ...
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