6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 （课件+学案 ） 2025-2026学年高一数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 【课程标准要求】　1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3.能根据平面向量的坐标,判断向量是否共线. 知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示 已知a=(x,y),则λa=(λx,λy),即:实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识点二　平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a,b共线的充要条件是存在实数λ,使a=λb. 如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ(x2,y2),当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b(b≠0)共线. 向量共线的坐标形式可简记为:纵横交错积相减,如写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的. 基础自测 1.下列各组向量中,不共线的是(　　) [A] e1=(2,2),e2=(1,1) [B] e1=(1,-2),e2=(4,-8) [C] e1=(1,0),e2=(0,-1) [D] e1=(1,-2),e2=(-,1) 【答案】 C 【解析】 对于A,因为2×1-2×1=0, 所以e1∥e2,e1,e2共线; 对于B,因为1×(-8)-(-2)×4=0, 所以e1∥e2,e1,e2共线; 对于C,因为1×(-1)-0×0=-1≠0, 所以e1,e2不共线; 对于D,因为1×1-(-2)×(-)=0, 所以e1∥e2,e1,e2共线.故选C. 2.如果向量a=(1,2),b=(4,3),那么a-2b等于(　　) [A] (9,8) [B] (-7,-4) [C] (7,4) [D] (-9,-9) 【答案】 B 【解析】 由题意,a-2b=(1,2)-2(4,3)=(-7,-4).故选B. 3.(人教A版必修第二册P33练习T2改编)已知向量a=(-3,2),b=(1,x),若a∥b,则x等于(　　) [A] [B] [C] - [D] - 【答案】 D 【解析】 因为a∥b,则-3x=2,得x=-.故选D. 4.已知向量a=(1,-3),b=(-2,4),若4a+(3b-2a)+c=0,则向量c的坐标为　　　　. 【答案】 (4,-6) 【解析】 向量a=(1,-3),b=(-2,4), 若4a+(3b-2a)+c=0, 则c=-4a-(3b-2a)=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6). 所以向量c的坐标为(4,-6). 题型一　数乘运算的坐标表示 [例1] 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3,=2,求M,N及 的坐标. 【解】 法一　由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), 可得=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8), =(3,-1)-(-3,-4)=(6,3), 所以=3=3(1,8)=(3,24), =2=2(6,3)=(12,6). 设M(x1,y1),N(x2,y2), 则=(x1+3,y1+4)=(3,24), 则x1=0,y1=20; =(x2+3,y2+4)=(12,6), 则x2=9,y2=2,所以M(0,20),N(9,2), =(9,2)-(0,20)=(9,-18). 法二　设点O为坐标原点, 则由=3,=2, 可得-=3(-), -=2(-), 从而=3-2, =2-, 所以=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20), =2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2), 即点M(0,20),N(9,2), 故=(9,2)-(0,20)=(9,-18). [变式训练] 已知点A(-1,-5)和向量a=(2,3),若=3a,则点B的坐标为　　　　. 【答案】 (5,4) 【解析】 设O为坐标原点,所以=(-1,-5),因为a=(2,3),所以=3a=(6,9),故=+=(5,4),故点B的坐标为(5,4). 题型二　向量共线的坐标表示及应用 [例2] 下列各组向量中,共线的是(　　) [A] a=(-2,3),b=(4,6) [B] a=(2,3),b=(3,2) [C] a=(1,-2),b=(7,14) [D] a=(-3,2),b=(6,-4) 【答案】 D 【解析】 A选项,(-2)×6-3×4=-24≠0,所以a与b不共线; B选项,2×2-3×3=4-9=-5≠0,所以a与b不共线; C选项,1×14-(-2)×7=28≠0,所以a与b不共线; D选项,(-3)×(-4)-2×6=12-12=0,所以a与b共线,故选D. 向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断,特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时,要注意坐标之间的搭配. [变式训练] 下列各组向量中,能作为平面内所有向量基底的是(　　) [A] e1=(0,0),e2=(1,-2) [B] e1=(-1,2),e2=(5,7) [C] e1=(3,5),e2=(6,10) [D] e1=(2,-3),e2=(,-) 【答案】 B　 【解析】 A选项,因为e1=0,e1∥e2,所以不可以作为基底; B选项,因为-1×7-2×5=-17≠0,所以e1与e2不共线,故可以作为基底; C选项,3×10-5×6=0,e1∥e2,故不可以作为基底; D选项,2×(-)-(-3)×=0,所以e1∥e2,不可以作为基底.故选B. 题型三　三点共线问题 [例3] (北师大 ... ...