5.2.1 三角函数的概念 教学设计

§5.2.1　三角函数的概念 1、教学目标 （1）经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦函数，余弦函数正切函数）的定义，发展数学抽象素养， （2）利用三角函数的定义，会求特殊角的三角函数值; 2、教学重点与难点 教学重点： 正弦函数、余弦函数，正切函数的定义 教学难点： 三角函数对应关系、三角函数符号的含义 3、教学过程设计 （一）创设情境，明确背景 引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”的变化现象，圆周运动是这类现象的代表．如图1所示，圆o上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转.在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角a的大小变化刻画点P的位置变化.又根据弧度制的定义，角a的大小与圆o的半径无关，因此，不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动.现在的任务是： 如图1所示，单位圆o上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个函数模型，刻 画点P的位置变化情况. 问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为可以按怎样的路径研究上述问题？ 师生活动：学生在独立思考的基础上进行交流，通过讨论得出研究路径是：明确研究背景--对应关系的特点分析一下定义一研究性质. 设计意图：明确研究的内容、过程和基本方法，为具体研究指明方向. （二）分析具体事例，归纳共同特征 引导语：下面我们利用直角坐标系来研究上述问题．如图2所示，以单位圆的圆心o为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为（1,0），点P的坐标为（x，y）.射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角a，终止位置为OP. 问题2：当a＝时，点P的坐标是什么？当a＝或 时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？ 一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？ 师生活动：在学生求出当a＝时点P的坐标后追问以下问题. 追问：（1）求点P的坐标要用到什么知识？（直角三角形的性质） （2）求点P的坐标的步骤是什么？点P的坐标唯一确定吗？（画出的终边OP，过点P作轴的垂线交x轴于M，在RΔCMP中，利用直角三角形的性质可得点P的坐标是（,） （3）如何利用上述经验求当α＝时时点P的坐标？ （4）利用信息技术，任意画一个角a，观察它的终边OP与单位圆交点P的坐标，你有什么发现？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？（对于R中的任意一个角。它的终边OP与单位圆的交点为P（x、y）无论是横坐标x还是纵坐标y、都是唯一确定的，这里有两个对应关系： f：实数a（弧度）对应于点P的纵坐标y； g：实数a（弧度）对应于点P的横坐标x、 根据上述分析，f：R→［-1、1］和g：R→［-1,1］都是从集合R到集合［-1,1］的函数，） 设计意图：以函数的对应关系为指向、从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角a（弧度）的函数，为给出三角函数的定义作好准备、 （三）任意角三角函数的定义与辨析 问题3：请同学们先阅读教科书第177～178页，再回答如下问题： （1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？ （2）符号，和分别表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？ （3）为什么说当a≠＋kπ时，tana的值是唯一确定的？ （4）为什么说正弦函数、余弦函数的定义域是R？而正切函数的定义域是｛x｜x≠＋kπ，kZ} 师生活动：学生独立阅读教科书，再回答上述问题.同时师板书： 任意角三角函数的定义： 设是任意角，其终边OP与单位圆交于点P（），那么： （1）点P的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即=； （2）点P的横坐标叫做的余弦函数，记作，即=； （3）点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即=。 将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通 ... ...