湖北省荆州市沙市中学2026届高三上学期阶段性测试（二）数学试卷（含答案）

湖北省沙市中学2026届高三上学期阶段性测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，则( ) A. B. C. D. 2.( ) A. B. C. D. 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( ) A. B. C. D. 4.已知等比数列的前项和为，，则( ) A. B. C. D. 5.已知函数，若关于的方程在上恰有一个实数根，则( ) A. B. C. D. 6.方程的两个不等实根为，，那么过点，的直线与圆的位置关系是( ) A. 相交 B. 相切或相交 C. 相切 D. 与的大小有关 7.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知为坐标原点，点，，，，则 ( ) A. B. C. D. 10.已知定义在上的函数不是常数函数，且，则( ) A. B. C. D. 11.已知正四面体的棱长为，其外接球的球心为点满足，，过点作平面行于和，平面分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则( ) A. 四边形的周长为定值 B. 四棱锥的体积的最大值为 C. 当时，平面截球所得截面的周长为 D. 当时，将正四体绕旋转后与原四面体的公共部分体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量服从正态分布，且，则 ． 13.记为数列的前项和．已知，，则数列的通项公式是 ． 14.已知中，点在边上，当取得最小值时， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 某厂为比较甲，乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率甲，乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，试验结果如下： 试验序号 伸缩率 伸缩率 记，记的样本平均数为，样本方差为． 求； 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高，如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高． 16.本小题分 如图，四面体中，，，，为的中点． 证明：平面平面 设，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 17.本小题分 已知函数． 当时，讨论的单调性 当时，，求的取值范围． 18.本小题分 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为记的轨迹为曲线． 求的方程，并说明是什么曲线； 过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点． 证明：是直角三角形； 求面积的最大值． 19.本小题分 已知无穷数列满足：，为正整数，且，． 若，，求； 证明：“存在，使得”是“是周期为的数列”的必要不充分条件； 若，是否存在数列，使得恒成立？若存在，求出一组，的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.或 15.【详解】计数如下表： 试验序号 则， ． 由知，，故有， 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 16.解：因为，为的中点，所以； 在和中，因为， 所以，所以，又因为为的中点，所以； 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 连接，由知，平面，因为平面， 所以，所以， 当时，最小，即的面积最小． 因为，所以， 又因为，所以是等边三角形， 因为为的中点，所以 ... ...