2025-2026学年山西省吕梁市高三（上）质检数学试卷（1月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集，，则( ) A. B. C. D. 2.已知复数，则的虚部是( ) A. B. C. D. 3.数据，，，，，，，的分位数为( ) A. B. C. D. 4.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，得到的图象，则( ) A. B. C. D. 5.已知等差数列的前项和为，且，，则的最大值为( ) A. B. C. D. 6.在的展开式中，仅有第项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是( ) A. B. C. D. 7.在菱形中，，点是的中点，点在线段上包含端点，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.已知实数，，满足且，则，，的大小关系不可能为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，，则( ) A. B. C. D. 10.在正方体中，点是棱的中点，则( ) A. 平面 B. 与所成的角为 C. 平面平面 D. 过，，的平面截该正方体所得的平面图形为正方形 11.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，，，是上三点，且的重心为，则下列说法正确的是( ) A. 的方程为 B. 到的两条渐近线的距离之积为 C. 若直线，的斜率之积为，则，关于原点对称 D. 若直线过点，且，在轴两侧，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，为坐标原点，若，则的离心率为 ． 13.已知正四棱锥的底面边长为，高为，则正四棱锥外接球的体积为 ． 14.若函数的最大值为，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，内角，，的对边分别为，，，． 求角的大小； 若，，求的面积． 16.本小题分 已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，且． 求抛物线的方程； 过点且斜率不为的直线与抛物线交于，两点若四边形的面积为，求直线的方程． 17.本小题分 如图，、分别是圆柱的上底面，下底面的直径，且，，分别是圆上在同侧的两点，且是线段上一点不含端点． 求证：平面； 已知圆柱的高为，表面积为，，求平面与平面夹角的余弦值． 18.本小题分 春节期间，某商家开展购物抽奖活动，部分活动规则如下：在一个不透明的抽奖箱中放入张大小形状完全相同的卡片，其中有张卡片上标有“恭喜中奖”，其余都标有“谢谢参与”． 若，，每位顾客可以一次性抽取张卡片，每张“恭喜中奖”卡片可以兑换精美礼品份，现顾客甲参加抽奖活动． (ⅰ)在顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片的前提下，顾客甲抽中“谢谢参与”卡片的概率； (ⅱ)设顾客甲获得的精美礼品的份数为，求的分布列与方差； 商家根据购物次序给每位顾客编号，编号的个位数字是的顾客的抽取规则如下：顾客每次抽取张卡片，抽到“谢谢参与”卡片就放回抽奖箱，继续抽取，抽中“恭喜中奖”卡片就停止抽取，赠送精美礼品份，如果抽取次仍然没有抽到“恭喜中奖”卡片，那么停止抽取，顾客不能获得精美礼品若顾客乙编号的个位数字是，记顾客乙抽取的次数是，求的数学期望． 19.本小题分 已知函数，． 当时，求的极值； 若对，不等式恒成立，求的取值范围； 若有两个零点，，且，证明：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：根据及正弦定理， 那么可得， 即， 又，，因此， 因为，因此； 根据余弦定理，那么可得， 所以， 又因为，因此，所以， 因此． 16.解：由题意，的准线方程为， 因为直线与交于，两点，所以的纵坐标为， 又，所以，解得， 所以抛物线的方程为； 因为直线与交于，两点，不妨设在第一象限， 所以，，， 由题意知直线的斜率存在且不为，， 故可设直线： ... ...
