(课件网) 第四章 数列 4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念 第1课时 等比数列的概念及通项公式 我国古代数学著作《孙子算经》中有一个有趣的题目“出门望九堤”： “今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九 雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？”这些数字构成了怎样的一个数列 呢？就让我们通过今天的学习来解决这个问题吧！ 知识点一 等比数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项 的比都等于 ，那么这个数列叫做等比数列，这 个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示 （q≠0） 符号语言 2 同一个常数 公比 q 教材知识整理与归纳 思考：（判断）等比数列的首项不能为零，但公比可以为零. 错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零， 所以等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不 能为零. A. 3 B. 2 C. －3 D. －6 A 知识点二 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与 b的 ，此时，G2＝ . 思考：任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个数都有等比中项吗？ 等比中项 ab A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 D 知识点三 等比数列的通项公式 1. 通项公式 首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝ . 2. 等比数列与指数函数的关系 孤立 思考：若数列{an}的通项公式是an＝cqn（c，q∈R，c≠0，q≠0），则 {an}是否一定是等比数列？ A. an＝3n＋1 B. an＝3n C. an＝3n－1 D. an＝3n 解析：由等比数列的通项公式易得an＝a1qn－1＝3n. B 等比数列通项公式的基本运算 【例1】（1）已知{an}为等比数列，a5＝8，a7＝2，且该数列的各项都为正 数，求an； 课堂互动探究与提升 （3）若等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q. 解：（3）∵an＋4＝a1qn＋3，a4＝a1q3，又an＋4＝a4， ∴qn＝1对任意的正整数都成立， ∴q＝1. 归纳总结：关于a1和q的两种求解方法 （1）通性通法，根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再 求an，这是常规方法. 在等比数列{an}中. （1）若它的前三项分别为5，－15，45， 求a5； （2）若an＝625，n＝4，q＝5，求a1； 解：（2）依题意，an＝a1qn－1，则a1×53＝625， 所以a1＝5. （3）已知a1＝3，q＝－2，求an； 解：（3）依题意，an＝3·（－2）n－1. 等比中项及其应用 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 C A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：若1，m，25成等比数列，则有m2＝1×25，解得m＝±5，而m＝5 是m＝±5的充分不必要条件，于是“m＝5”是“1，m，25成等比数列” 的充分不必要条件. A 等比数列的通项公式的指数型函数特征 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 A 归纳总结：等比数列的通项公式与指数型函数的关系 （2）由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下： ③当q＝1时，等比数列{an}为常数列； ④当q＜0时，等比数列{an}为摆动数列. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：根据题意，an＋2＞an成立时，有a1qn＋1＞a1qn－1，结合a1＞0，得qn＋1 ＞qn－1，即qn－1（q2－1）＞0， ①当q＞0时，可得qn－1＞0， 所以q2＞1，即q＞1； C ②当q＜0时， 若n为偶数，qn－1＜0，可得q2－1＜0， 所以－1＜q＜0， 若n为奇数，qn－1＞0，可得q2－1＞0， 所以q＜－1， 因此不存在q＜0满足an＋2＞an成立. 综上所述，若an＋2＞an成立， ... ...
