7.2 复数的四则运算 ▉【知识点1 复数的四则运算】 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 4．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义 设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则 ，又复数=(a-c)+(b-d)i，则. 故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离. 6．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . ▉【知识点2 复数范围内方程的根】 1．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当 >0时，方程有两个不相等的实根 ，； 当 =0时，方程有两个相等的实根； 当 <0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 2．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. ▉一．复数的加、减运算及其几何意义（共13小题） 1．已知复数z满足|z﹣2﹣2i|＝2，则|z|最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：|z﹣2﹣2i|＝2表示复平面内复数z对应的点在以点（2，2）为圆心，2为半径的圆上， 所以|z|最大值为． 故选：D． 2．已知复数a，b∈R，ai（1+2i）＝b+3i，则a+b＝（ ） A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4 【答案】B 【解答】解：因为ai（1+2i）＝b+3i＝﹣2a+ai，复数a，b∈R，所以，解得， 则a+b＝﹣3． 故选：B． 3．已知复数z1＝6﹣5i，z2＝3+2i，其中i为虚数单位，则z1+z2＝（ ） A．9﹣3i B．9+3i C．9﹣7i D．9+7i ... ...
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