2025-2026学年湖南省长沙市高二（上）期末数学模拟试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点，分别在堤坝斜面与地面上，过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，若，二面角的大小为，则( ) A. B. C. D. 2.设，，向量，，且，，则( ) A. B. C. D. 3.过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为，则这样的直线有( ) A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 4.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是( ) A. 点的轨迹是一条线段 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 点到直线的距离的最大值为 5.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点若，且双曲线的离心率为，则( ) A. B. C. D. 6.已知无穷数列的通项公式为，其前项和为，若对于任意，有恒成立，则实数的取值集合为( ) A. B. C. D. 7.在数列中，若，则( ) A. B. C. D. 8.已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知方程：且，则下列结论正确的有( ) A. 若方程表示椭圆，则 B. 若，则方程表示焦点在轴上的双曲线 C. 存在，方程表示的曲线的离心率为 D. “”是“方程表示双曲线”的充要条件 10.已知，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之和是，则下列说法正确的有( ) A. 点的轨迹关于轴对称 B. 点的轨迹关于原点对称 C. 若且，则恒成立 D. 若且，则恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11.已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ． 12.如图，“爱心”图案是由函数的图象的一部分及其关于直线的对称图形组成若该图案经过点，点是该图案上一动点，是其图象上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为_____． 13.已知无穷数列的首项，对任意正整数，，满足，记，若对集合是闭区间，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共83分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 若数列：，，，中且对任意的，恒成立，则称数列为“数列”． 若数列，，，为“数列”，写出所有可能的，； 若“数列”：，，，中，，，求的最大值； 设为给定的偶数，对所有可能的“数列”：，，，，记，其中表示，，，这个数中最大的数，求的最小值． 15.本小题分 四棱锥中，底面是边长为的菱形，，底面，，点，分别是，的中点． 若过点，，的平面交于点，求的值； 在棱上取一点，使得平面，求面与面夹角的余弦值． 16.本小题分 在平面直角坐标系中，，， 求点所在的曲线的方程； 设点在直线上，若过点存在直线交曲线于、两点，使得为线段的中点，求点的横坐标的取值范围． 17.本小题分 已知数列为无穷数列，前项和为． 若，，求的通项公式； 是否存在等差数列，使？若存在，请写出一个满足条件的通项公式，若不存在，请说明理由； 若数列为等比数列，公比为，且满足，求的取值范围． 18.本小题分 已知函数有两个零点． 求的取值范围； 记，为的两个零点，证明：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.解：依题意，因为数列，，，为“数列”， 则，注意到，， 故所有可能的，为或或； 的最大值为，理由如下： 因为，对任意的， 令，则且， 故对任意的恒成立， 当，时，注意到， 得， 此时， 即，解得：，故； 另一方面，取，则对任意的，， 故数列为“数列”， 此时，即符合题意； 综上，的最大值为； 当时， 一方面：由可得：， 则， 此时有 ， ... ...
