2025-2026学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，则( ) A. B. C. D. 2.已知直线经过点，，则直线的斜率为( ) A. B. C. D. 3.个人站成一排照相，如果甲必须站在中间，那么排法总数共有( ) A. B. C. D. 4.已知圆：，：，则与的位置关系为( ) A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 5.已知为随机变量和的样本相关系数，为随机变量和的样本相关系数，则下列说法正确的是( ) A. 若，则和负相关 B. 若，则和线性不相关 C. 若，，则和的线性相关程度比和的线性相关程度强 D. 若越接近，则和的线性相关程度越弱 6.已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为，则其离心率为( ) A. B. C. D. 7.学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为、、，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为、、，则该生获得冠军的概率为( ) A. B. C. D. 8.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的左支交于，两点，且，，则的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知空间中的两点，，则( ) A. B. 线段的中点坐标为 C. 点到轴的距离为 D. 直线的一个方向向量为 10.工厂生产了件零件，其尺寸服从正态分布已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 尺寸在区间的零件约有件 D. 若，则 11.已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，，延长交抛物线于，则( ) A. B. 在准线上存在一点，使为等边三角形 C. D. 以为直径的圆与相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在的展开式中含的项的系数为 ． 13.某同学进行投篮练习，他第一次投篮命中的概率为，在第一次投篮命中的情况下，第二次投篮命中的概率为，则该同学连续两次投篮命中的概率为 ． 14.已知点、、分别在棱长为的正方体的棱、、上，且若为平面内的动点，为棱所在直线上的动点，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知直线经过点且与直线：平行． 求直线的方程； 求以为圆心且与直线相切的圆的标准方程． 16.本小题分 根据下列条件，分别求出圆锥曲线的标准方程： 焦距是，过点，焦点在轴上的椭圆； 一个焦点是，一条渐近线方程为的双曲线； 焦点到准线的距离是，且焦点在轴上的抛物线． 17.本小题分 如图，在边长为的等边三角形中，为的中点，将沿翻折至，使得平面与平面垂直． 证明：； 求点到平面的距离； 求平面与平面的夹角的余弦值． 18.本小题分 学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题次，若次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少答对一次，则该队进入决赛决赛由该队的另一名同学答题次，每次答对得分，未答对得分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和． 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立． 若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； 若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； 设，，为使得该班的比赛成绩为分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 19.本小题分 已知椭圆的左焦点为，且经过点． 求椭圆的标准方程； 过左焦点作斜率存在且不为的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点． (ⅰ)若的面积为，求直线的方程； (ⅱ)是否存在椭圆上一点及轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求实数的值，若 ... ...
